TOP

คณิตศาสตร์ของความรัก ที่อาจจะไม่ได้ง่ายแค่ “ฉัน+เธอ=เรา”

ผู้คนมากมายพยายามทำความเข้าใจ “ความรัก” บางคนบอกว่ามันเป็นเรื่องของจิตวิทยา เรื่องของสารเคมีในสมอง บ้างก็ว่าเป็นเรื่องของโชคชะตาที่ถูกเขียนมาแล้วโดยคนบนฟ้า ซึ่งอาจจะพอทำความเข้าใจได้ผ่านลัคนาราศี ต่างศาสตร์ก็ต่างมีวิธีอธิบายความรักที่ต่างกันออกไป แล้วจะเป็นยังไง ถ้าคณิตศาสตร์จะมาลองทำความเข้าใจเรื่องความรักดูบ้าง

แบบจำลองโรมิโอกับจูเลียต

ต้นตอของแนวคิดนี้เริ่มขึ้นเมื่อปี ค.ศ. 1988 นี้เอง โดยคุณ Steven Strogatz นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันคนหนึ่ง ในบทความทางวิชาการที่ชื่อว่า Love Affairs and Differential Equations หรือแปลเป็นไทยว่า ความรักกับสมการเชิงอนุพันธ์

ในบทความนั้นคุณ Steven เค้าได้เสนอว่า เราสามารถอธิบายความรักออกมาเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันหนึ่ง ที่ตั้งชื่อน่ารัก ๆ ว่า แบบจำลองโรมิโอกับจูเลียต (Romeo and Juliet Model)

\(\frac{dR(t)}{dt}=a_RR(t)+b_RJ(t)\\ \frac{dJ(t)}{dt}=b_JR(t)+a_JJ(t)\)

สำหรับผู้อ่านที่มีความรู้ทางคณิตศาสตร์ไม่พอ อย่าเพิ่งกระอักเลือดนะ อ่านต่อไปก่อน เราสัญญาว่าเราจะไม่ทำอะไรกับสมการน่ากลัว ๆ นี้อีก

ตัวแปร \(a\) กับ \(b\) ที่เห็นในสมการ จะบ่งบอกถึงสไตล์ความรักของพวกคุณแต่ละคน ตัว \(a\) หมายถึงวิธีการตอบสนองต่อความรักของตัวเอง แปลไทยเป็นไทยก็คือ สมมุติว่าวันนึงพบว่าตัวเองรักอีกฝ่ายมากเข้าเสียแล้ว ถ้าคุณเป็นพวกที่เลือกลุยต่อ และพร้อมจะรู้สึกรักมากยิ่งขึ้นไปอีก แบบนี้แสดงว่าค่า \(a\) ของคุณเป็นบวก ยิ่งมีนิสัยแบบนี้มากก็ยิ่งบวกมาก ในทางกลับกัน ถ้าคุณเป็นพวกที่พอรู้ตัวว่าฉันรักเค้ามาก จะรู้สึกกลัว กลัวแบบว่าเห้ย ฉันรักเค้ามากเกินไปแล้วแฮะ เบรก ๆ ตัวเองหน่อย รักให้น้อยลงหน่อยดีกว่า แบบนี้แสดงว่าค่า \(a\) ของคุณเป็นลบ ยิ่งมีนิสัยแบบนี้มากก็ยิ่งลบมาก หรือถ้าความรักของตัวคุณเองไม่ได้ส่งผลอะไรต่อตัวคุณเลย นั่นแปลว่า \(a\) ของคุณเป็นศูนย์

ในทางตรงกันข้าม ตัวแปร \(b\) หมายถึงวิธีการตอบสนองต่อความรักของอีกฝ่าย ก็คล้าย ๆ ตะกี้เลย คือในวันที่คุณพบว่าอีกฝ่ายรักคุณมากเข้าเสียแล้ว ถ้าคุณเป็นพวกที่ลุยต่อและจะรู้สึกรักกลับไปมากขึ้นอีก แบบนี้แสดงว่าค่า \(b\) ของคุณเป็นบวก และแต่ถ้าคุณเป็นพวกที่พอรู้ตัวว่าเค้ารักเรามากเกินไปแล้ว ไม่ชอบเลย น่ากลัวจัง ถอยดีกว่า แบบนี้แสดงว่าค่า \(b\) ของคุณเป็นลบ และเช่นเดิม ถ้าความรักของอีกฝ่ายไม่ได้ส่งผลอะไรต่อตัวคุณเลย นั่นแปลว่า \(b\) ของคุณเป็นศูนย์

Steven จำแนกสไตล์ความรักของคนออกเป็น 4 แบบตามค่า \(a\) และ \(b\) ได้แก่

  • บีเวอร์ผู้กระตือรือร้น (Eager beaver) คือคนที่ค่า \( a \) และ \( b \) เป็นบวก
  • เนิร์ดผู้หลงตัวเอง (Narcissistic nerd) คือคนที่ค่า \( a \) เป็นบวก แต่ \( b \) เป็นลบ
  • นักรักผู้ระมัดระวัง (Cautious lover) คือคนที่ค่า \( a \) เป็นลบ แต่ \( b \) เป็นบวก
  • และ ฤๅษีชีไพร (Hermit) คือคนที่ค่า \( a \) และ \( b \) เป็นลบ

นอกจากนั้นอีกสองค่าที่จำเป็นต่อการทำนายก็คือ สถานภาพในปัจจุบัน คุณต้องถามตัวเองว่าในปัจจุบันนี้ เรารักเค้าที่ระดับเท่าไร และเค้ารักเราที่ระดับเท่าไร ในทางคณิตศาสตร์เราเรียกค่าสองค่านี้ว่า เงื่อนไขเริ่มต้นของสมการ ซึ่งเมื่อแทนค่าทั้ง6 นี้ลงในสมการ (ก็คือ \(a\) และ \(b\) ของทั้งคุณกับเค้า ละก็สถานภาพปัจจุบัน) เราก็จะสามารถแก้หา \(R(t)\) ซึ่งคือสมการแสดงระดับความรัก (หรือความเกลียดในกรณีที่ค่าออกมาติดลบ) ของคุณที่มีต่อเค้าในอนาคต และ \(J(t)\) ซึ่งคือสมการแสดงระดับความรักของเค้าที่มีต่อคุณในอนาคตได้เลย

เผื่อใครยังไม่เห็นภาพ สมมุติว่าคุณเป็นฤๅษีชีไพรคนหนึ่งที่มี \(a=-2\) และ \(b=-1\) ซึ่งกำลังคุย ๆ อยู่กับบีเวอร์คนหนึ่งที่มี \(a=1\) และ \(b=3\) และสมมุติว่าตอนนี้คุณและเค้ารักอีกฝ่ายเท่า ๆ กันที่ระดับ 1 เมื่อไปแก้สมการ จะได้กราฟออกมาแบบนี้

กราฟความรักของคุณ

กราฟความรักของเค้าคนนั้น

ซึ่งแปลความได้ว่า เมื่อคุณเริ่มจีบเค้าไปได้สักพัก คุณจะเริ่มชอบเค้าน้อยลงจนกลายเป็นไม่ชอบ เห็นได้จากที่กราฟความรักของคุณเริ่มตกลงในช่วงแรกจนค่ากลายเป็นติดลบ แต่ช่วงนั้นเค้าดูเหมือนจะชอบคุณเพิ่มขึ้นนะ ดูจากกราฟความรักของเค้าที่เพิ่มขึ้นสิ แล้วพวกคุณก็จะรัก ๆ เกลียด ๆ กันไปมาอยู่อย่างงั้นสักพัก จนกราฟของพวกคุณทั้งคู่ค่อย ๆ เข้าใกล้ค่าศูนย์ นั่นคือทุกอย่างมันค่อย ๆ จืดจางกันไป หรือพวกคุณก็จะกลับมาเป็นแค่คนรู้จักกันนั่นเอง

เอาใหม่ หลังจากไม่สมหวังกับบีเวอร์คนที่แล้ว คราวนี้คุณลองหันมากุ๊กกิ๊กกับบีเวอร์คนใหม่ ที่มี \(a=1\) และ \(b=1\) พวกคุณเริ่มต้นความสัมพันธ์กันที่ระดับ 1 เท่ากันเหมือนกัน เมื่อไปแก้สมการ จะได้กราฟออกมาแบบนี้

กราฟความรักของคุณ

กราฟความรักของเค้าคนนั้น

คราวนี้หนักกว่าเดิมอีกจ้า เพราะเมื่อคุยกันไปสักพัก สุดท้ายคุณเองนั่นแหละที่จะเกลียดเค้า ดูกราฟที่พุ่งดิ่งลงเหวนั่นสิ ตรงกันข้าม เค้าคนนั้นกลับรักคุณมากขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน โอ้โห นี่มันช่างละครไทยอะไรขนาดนี้ ฝ่ายหนึ่งรักมาก อีกฝ่ายหนึ่งเกลียดมาก ไปกันไม่รอดแน่นอน

จุดอ่อนสำคัญที่สุดของแบบจำลองนี้ก็คือ แล้วเราจะรู้ได้ยังไงว่าค่า \(a\) และ \(b\) ของเรานั้นเป็นเท่าไร เพราะมันไม่มีวิธีการวัด หรือแม้แต่หน่วยที่แน่นอนชัดเจน ทางเดียวที่พอจะแก้ปัญหานี้ได้ก็คือ ใช้การระบุค่าแบบเชิงเปรียบเทียบ เช่นถ้าเราคิดว่าทั้งคุณและเค้าเป็นคนที่ถูกกระตุ้นได้โดยความรักของอีกฝ่ายกันทั้งคู่ แต่คุณเป็นคนรู้สึกง่ายกว่าอีกฝ่ายสักหน่อย เราก็อาจจะกำหนดให้ค่า \(a\) ของเรามากกว่า \(a\) ของเค้านิดนึง และเทียบไปแบบนี้จนครบทุกตัว

เอาล่ะ คราวนี้ถึงเวลาของคุณบ้างแล้ว นึกหน้าของเค้าคนนั้นไว้ให้ชัด แล้วมาดูคำทำนายกันดีกว่า

สำหรับคนที่อยากเข้าใจตัวสมการมากกว่านี้อีกสักหน่อย ย้อนกลับไปดูที่เจ้าระบบสมการกันอีกรอบ

NL;BG – Not Long, But Geek

\(\frac{dR(t)}{dt}=a_RR(t)+b_RJ(t)\\ \frac{dJ(t)}{dt}=b_JR(t)+a_JJ(t)\)

แม้จะดูแปลก ๆ แต่ถ้าคิดตามดี ๆ ที่จริงแล้วแบบจำลองนี้ก็ฟังดูเข้าท่าเข้าทางอยู่นะ เพราะถ้าเรามองว่า \(R(t)\) คือระดับความรักของโรมิโอ (ในที่นี้คือตัวเรา) ในแต่ละเวลา และ \(\frac{dR(t)}{dt}\) ซึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(R(t)\) การที่เรากำหนดให้มีค่าเท่ากับ \(\frac{dR(t)}{dt}=a_RR(t)+b_RJ(t)\) ก็คือเมื่อเราเริ่มรักมาก (\(R(t)\) มีค่าเยอะ ๆ) ถ้า \(a\) ของเราเป็นบวก มันก็จะไปเพิ่มค่า \(\frac{dR(t)}{dt}\)หรือก็คือเราจะยิ่งรักเข้าไปอีก แต่ถ้า \(a\) ของเราเป็นลบ มันก็จะไปลดค่า \(\frac{dR(t)}{dt}\) หรือก็คือเราจะรักอีกฝ่ายน้อยลง และตัวแปรอื่น ๆ ก็สามารถพิจารณาได้ในลักษณะเดียวกัน

แบบจำลองนี้บอกอะไรเราได้อีกบ้าง

สรุปแล้วเราควรเลือกคบคนแบบไหนดีล่ะ คราวนี้เราเปลี่ยนบทบาทจากหมอดูมาเป็นพี่อ้อยพี่ฉอดกันดูบ้าง แบบจำลองนี้ก็ได้ให้คำตอบที่น่าสนใจเอาไว้หลายอย่าง บางคนอาจจะมีทฤษฎีว่า คนจะรักกันได้ยาวนานต้องเป็นคนที่มีลักษณะเหมือน ๆ กันสิ เมื่อลองพิจารณาแบบจำลองในกรณีที่ค่า \(a\) และ \(b\) ของทั้งสองคนเท่ากันเป๊ะ ๆ ได้ผลออกมาว่า

  • ถ้าพวกคุณเป็น นักรักผู้ระมัดระวัง ที่ \( |a|<|b| \) หรือเป็น บีเวอร์ ถ้าตอนแรกพวกคุณรักกันอยู่แล้วนิด ๆ พวกคุณจะลงเอยที่รักกันมาก ๆๆๆ ทั้งคู่ เตรียมสร้างเรือนหอไว้ได้เลย
  • แต่ถ้าพวกคุณเป็น ฤๅษี ที่มีค่า \( |a|<|b| \) หรือเป็น เนิร์ด ผลออกมาว่าจะมีหนึ่งในพวกคุณที่รักมาก และอีกคนที่เกลียดไปเลย หรือที่เรียกว่าความบาดหมางกัน
  • และในกรณีที่เหลือ พวกคุณจะลงเอยที่ความไม่รักและไม่เกลียด หรือกลับมาเป็นแค่คนรู้จักกันนั่นเอง

อีกทฤษฎีที่ฮิตพอ ๆ กันบอกว่า จริง ๆ แล้วเหมือนกันไปก็ไม่ดีหรอก คบคนที่ตรงข้ามกับเราไปเลยดีกว่า ถ้าเราลองใส่ค่า \(a\) และ \(b\) ของเค้า ให้เท่ากับ \(-a\) และ \(-b\) ของเราดูล่ะ จะเกิดอะไรขึ้น เมื่อนำไปคำนวน ได้ผลออกมาว่า

  • กรณีที่ \( |a|>|b| \) และพวกคุณเป็นบีเวอร์กับฤๅษี ผลจะจบลงที่ฝ่ายบีเวอร์จะรักมากขึ้น ในขณะที่ฝ่ายฤๅษีจะเกลียดไปเลย หรือที่เรียกว่าความบาดหมางนั่นเอง
  • กรณีที่ \( |a|>|b| \) และพวกคุณเป็นเนิร์ดกับนักรักผู้ระมัดระวัง ผลจะจบลงที่พวกคุณทั้งสองจะรักกันแน่นอน กราฟพุ่งขึ้นรัว ๆ
  • แต่ในกรณีที่ \( |a|<|b| \) นั้น ไม่ว่าพวกคุณจะเป็นประเภทไหน ผลที่ออกมาก็คือ พวกคุณจะไม่ลงเอยทางไหนสักทาง ไม่รัก ไม่เกลียด และก็ไม่ได้เฉยชาด้วย แต่จะรัก ๆ เกลียด ๆ กัน วนไปวนมาอยู่อย่างงี้ตลอดไป

จากการทดลองแนวคิดสองอันนี้ จึงสรุปได้ว่า ถ้าคุณรู้ตัวว่าเป็นบีเวอร์ จงหาใครสักคนที่เหมือนกับคุณ แต่ถ้าคุณรู้ตัวว่าเป็นเนิร์ดหรือนักรักผู้ระมัดระวัง จงหาใครสักคนที่ตรงกันข้ามกับคุณ และถ้าคุณรู้ตัวว่าเป็นฤๅษี จงกลับเข้าป่าไปเถอะ บายยยย

แล้วยังไงต่อ?

สำหรับคนที่มีความรู้คณิตศาสตร์และอ่านสมการของแบบจำลองนี้เข้าใจ ก็น่าจะเห็นได้ไม่ยากว่าสมการมันมีความไม่สมเหตุสมผลหลายอย่าง จริง ๆ ต่อให้ไม่มีความรู้ทางคณิตศาสตร์ แต่แค่การพยายามสรุปทุกอย่างด้วยตัวแปรไม่กี่ตัวแค่นี้มันก็ฟังดูไม่สมเหตุสมผลแล้ว ดังนั้นจึงมีคนพยายามพัฒนาแบบจำลองเกี่ยวกับความรัก ต่อยอดขึ้นไปจากแบบจำลองนี้อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น

เพิ่มตัวละครอีกตัวเข้าไป ให้กลายเป็นแบบจำลองรักสามเส้า

\(\frac{dR_J(t)}{dt}=aR_J(t)+b(J(t)-G(t))\\ \frac{dJ(t)}{dt}=cR_J(t)+dJ(t)\\ \frac{dR_G(t)}{dt}=aR_G(t)+b(G(t)-J(t))\\ \frac{dG(t)}{dt}=eR_G(t)+fG(t)\)

เพิ่มตัวแปรที่อาจจะเกี่ยวข้องในความสัมพันธ์เช่นเรื่องของเงินเข้าไปในแบบจำลองอีก จนสมการออกมาดูยุบยิบอย่างที่เห็น

\(\frac{dR(t)}{dt}=a_JR(t)+c_RJ(t)+m_RJ(t)-t_RJ(t)-k_RR(t)-sR(t)J(t)-wJ(t)R(t)\\ \frac{dJ(t)}{dt}=a_RJ(t)+c_JR(t)+m_JJ(t)-t_JR(t)-k_JJ(t)+sR(t)J(t)+wJ(t)R(t)\)

หรือแม้แต่ไอเดียน่ารัก ๆ เกี่ยวกับการเพิ่มตัวแปรความล่าช้าของเวลาเข้าไป เพราะเค้ามองว่า จริง ๆ แล้วมันต้องใช้เวลาสักหน่อยนะ กว่าเราจะรับรู้และถูกกระตุ้นจากความรู้สึกของอีกฝ่าย

\(\frac{dR(t)}{dt}=a_RR(t)+b_RJ(t-\tau)\\ \frac{dJ(t)}{dt}=b_JR(t-\tau)+a_JJ(t)\)

ซึ่งแน่นอนว่าเมื่อแบบจำลองมันซับซ้อนขึ้นเท่าไร คณิตศาสตร์ที่ใช้วิเคราะห์ผลก็ย่อมต้องซับซ้อนขึ้นไปอีกเป็นธรรมดา

นอกจากนี้แล้วแบบจำลองเชิงพลวัต หรือ Dynamical Model ในลักษณะนี้นั้นก็ยังถูกนำไปประยุกต์ใช้กับปัญหาจริง ๆ ในหลายศาสตร์มาก ตั้งแต่ปัญหาทางการเงินอย่างการประเมินราคาสินค้าในตลาดที่มีความผันผวน ไปจนถึงการคาดคะเนจำนวนประชากรของสิ่งมีชีวิตชนิดต่าง ๆ ในระบบนิเวศในงานเชิงสิ่งแวดล้อม ซึ่งแม้แบบจำลองที่นำไปใช้กันจริง ๆ นั้นจะซับซ้อนกว่าที่เราเห็นอยู่นี้มาก แต่มันก็ล้วนมีพื้นฐานมาจากแบบจำลองง่าย ๆ ที่เกิดมาจากแนวคิดพื้น ๆ ไม่ต่างจากแบบจำลองโรมิโอกับจูเลียตนี้ทั้งสิ้น

NL;BG – Not Long, But Geek

ในกรณีของแบบจำลองโรมิโอกับจูเลียตนั้น จะเห็นระบบสมการที่ใช้นั้นง่าย มันจึงสามารถแก้สมการหาคำตอบออกมาได้ และเมื่อหาคำตอบออกมาได้ ทุกอย่างก็จบ เพราะเราสามารถศึกษาพฤติกรรมทุกอย่างของระบบผ่านเจ้าคำตอบนั้นได้
แต่เมื่อระบบสมการมันซับซ้อนขึ้น การหาคำตอบออกมาเลยก็อาจจะทำได้ยาก จนแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยด้วยซ้ำ ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงต้องพยายามหาวิธีการในการศึกษาพฤติกรรมของระบบสมการที่ซับซ้อนพวกนี้โดยไม่แก้สมการออกมา เราใช้ระบบสมการง่าย ๆ ที่แก้ได้พวกนี้เป็นต้นแบบ พัฒนาทฤษฎีต่าง ๆ เกี่ยวกับมัน แล้วขยายทฤษฎีเหล่านั้นออกไปในกรณีทั่วไปให้ใช้ได้กว้างยิ่งขึ้น จนเกิดเป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่เรียกว่า Dynamical Systems Theory ขึ้นมา
และแม้ว่าศาสตร์แขนงนี้จะถูกคิดค้นและพัฒนามาได้สักพักใหญ่ ๆ แล้ว แต่มันก็ยังเรียกว่าเป็นศาสตร์ที่ยังมีชีวิตอยู่จนถึงในปัจจุบัน นั่นคือยังมีปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้ หรือที่เรียกกันว่า open problem อีกมากมาย รอให้นักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ ๆ ไปหาคำตอบกันอยู่

แต่ในท้ายที่สุด เราก็ต่างรู้กันดีว่าความรักนั้นเป็นเรื่องซับซ้อนและยากต่อการทำความเข้าใจ ตัวแปรมากมายแค่ไหนก็คงไม่อาจทำนายบทสรุปของความรักได้อย่างแม่นยำ หรือจริง ๆ แล้วมันอาจจะไม่มีแบบจำลองไหนที่ใช้ได้ครอบจักรวาลสำหรับทุกคนทุกคู่เสียด้วยซ้ำ แต่นั่นก็ไม่ได้แปลว่าเราจะไม่พยายามเข้าใจมันนี่นา สุดท้ายความรักมันก็เป็นเรื่องของคนสองคนที่ต้องทำความเข้าใจ เรียนรู้ซึ่งกันและกัน แก้ไข ปรับตัว ปรับความเข้าใจ และสร้างแบบจำลองความรักของคู่ตัวเองไปด้วยกัน

และสำหรับใครที่ไม่รู้ว่าจะเริ่มยังไงดี เราอยากจะเสนอให้คุณลองส่งบทความนี้ไปให้ใครสักคนคนนั้นของคุณอ่าน ลองชวนเค้าเล่นแบบจำลองนี้ดู ใส่ค่า \(a\) และ \(b\) ของคุณและของเค้า กดดูผลการคำนวน อ่านกราฟ แล้วหัวเราะกับคำทำนายที่อาจจะออกมาเพี้ยน ๆ ไปหน่อยของมันไปด้วยกัน แลกเปลี่ยนความคิด แลกเปลี่ยนมุมมองกัน อาจจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยก็ได้ แต่ต้องทำอย่างเข้าใจ รักอย่างเข้าใจ นั่นน่าจะเป็นคำตอบที่ดีที่สุดของสมการความรักแล้วแหละ

อ้างอิง:

นักคณิตศาสตร์ฝึกหัด ชอบพูด ชอบเขียน ชอบกินบุฟเฟ่ต์