TOP

เรื่องลี้ลับแห่งยุคสมัย เกิดอะไรขึ้นหลังเราหย่อนหูฟังลงไปในกระเป๋า

คุณก็เป็นอีกคนหนึ่งที่เคยประสบปัญหาหัวร้อนเพราะการต้องแกะหูฟังที่พันกันอย่างบ้าคลั่งใช่ไหม มันน่าหัวร้อนจริง ๆ นะ แล้วมันจะน่าหัวร้อนเข้าไปอีกตรงที่ ไม่ว่าคุณจะบรรจงวางมันลงในกระเป๋าอย่างดีแค่ไหน เมื่อเวลาผ่านไป มันก็จะต้องพันกันเละเทะอยู่ดี แล้วเละในระดับที่ต้องใช้เวลาเป็นนาทีในการแกะ ปมเยอะไปหมด แถมบางปมซับซ้อนในระดับที่ว่ามนุษย์อย่างเรา ๆ ไม่มีวันทำให้มันออกมาเป็นแบบนั้นได้แน่นอน มันพันกันเข้าไปท่าไหนหรอถึงได้ปมแบบนั้น ไม่สิ ต้องถามว่า มันเกิดอะไรขึ้นในกระเป๋าเรากันแน่ หรือจริง ๆ แล้วมีสิ่งลี้ลับอยู่เบื้องหลังการเกิดปมอันแสนซับซ้อนนี้

หรือจริง ๆ แล้วหูฟังแค่เมา

แบบจำลองที่ถูกนำมาใช้อธิบายการเกิดปมที่แพร่หลายมากที่สุดเรียกว่าการเดินแบบสุ่มในสองมิติ  (2-dimensional random walk) ซึ่งเป็นแบบจำลองที่สำคัญมากในทางทฤษฏีความน่าจะเป็น และมีการนำไปประยุกต์ใช้มากในการจำลองสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอน

การเดินแบบสุ่มในสองมิติอธิบายเป็นภาพง่าย ๆ ว่ามีชายคนหนึ่งยืนอยู่ที่จุดเริ่มต้น เขาเมามากจนไม่สามารถควบคุมการเดินของตัวเองได้ ในแต่ละก้าวของเขาจึงสามารถจะก้าวไปในทิศไหนก็ได้ ด้วยโอกาสเท่า ๆ กัน

Random walk (ภาพจาก: Debapriyo.blog)

(ภาพจาก: Debapriyo.blog)

ซึ่งคนมักจะเข้าใจไปเองด้วยสามัญสำนึกว่าคนเมาที่เดินแบบสุ่มนั้นจะไปไหนไม่ได้ไกลจากจุดเริ่มต้นหรอก ด้วยความที่เขามีโอกาสจะเดินไปทางไหนก็ได้ด้วยโอกาสเท่า ๆ กัน เมื่อปล่อยให้เขาเดินไปสักพัก ซ้ายขวาหน้าหลังก็น่าจะหักลบกันไปเอง และเขาก็น่าจะเดินไปเดินมาวนเวียนอยู่แถว ๆ จุดเริ่มต้นนั่นแหละ ซึ่งเป็นความเข้าใจที่ผิด เพราะในความเป็นจริง เราสามารถคำนวนได้ในทางคณิตศาสตร์ว่ามีโอกาสสูงมากที่ชายคนนั้นอาจจะเดินออกไปได้ไกลจากจุดเริ่มต้น

Random Walk--2-Dimensional (ภาพจาก: Wolfram MathWorl)

Random Walk–2-Dimensional (ภาพจาก: Wolfram MathWorl)

แล้วคนเมาเกี่ยวอะไรกับหูฟัง? คือต้องนึกภาพก่อนว่า เพื่อความง่าย เราสมมุติให้หูฟังเป็นแค่เชือกเส้นหนึ่ง ที่ถูกใส่อยู่ในกล่อง ซึ่งเรากำลังมองมันจากด้านบนลงมา และสมมุติให้จุดปลายด้านหนึ่งของเส้นเชือกเป็นคนเมาคนนั้น ก็คือสามารถเคลื่อนที่ไปมาอยู่ภายในพื้นที่จำกัดนั้นอย่างไร้การควบคุม นึกภาพคล้าย ๆ เกมงูในโทรศัพท์โนเกียสมัยก่อนก็ได้

หากเราลากเส้นตามแนวเดินของปลายด้านนั้นของหูฟังที่เมาไปเรื่อย ๆ แล้วบันทึกรูปแบบเคลื่อนที่ของมัน พิจารณารูปแบบการทับและขดเป็นวงของแนวเดิน บวกกับความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนนิดหน่อย เราก็จะสามารถคำนวนจำนวนและรูปแบบของปมที่จะเกิดขึ้นได้

ใครที่อ่านมาถึงตรงนี้แล้วคิดตามมาตลอดก็อาจจะเริ่มขมวดคิ้วแรง ๆ แล้วถามในใจว่า มันจะใช้ได้จริง ๆ หรอ เจ้าแนวคิดที่ดูเด็กเล่นแบบนี้เนี่ยนะจะสามารถเอามาอธิบายการเกิดปมที่แสนซับซ้อนของหูฟังได้จริง ๆ ก็ต้องบอกตรงนี้เลยว่า ไอเดียนี้ไม่เด็กเล่นนะ ไม่เลยแม้แต่น้อย เพราะมีงานวิจัยทางด้านชีวเคมีที่ใช้แนวคิดการเดินแบบสุ่มในสองมิตินี้ไปใช้อธิบายลักษณะการเกิดปมใน DNA ของไวรัสบางชนิด และให้ผลออกมาตรงกันกับผลการทดลองเป็นอย่างมาก

เงื่อนงำจากการทดลอง

คำถามที่ตามมาทันทีก็คือ แล้วเจ้าแนวคิดเรื่องการเดินแบบสุ่มในสองมิติเนี่ย มันสามารถนำมาใช้อธิบายการเกิดปมของหูฟังในกระเป๋าได้ไหม แต่น่าเศร้าที่คำตอบคือไม่ได้ 

เพราะเมื่อปี 2006 นักฟิสิกส์ชาวอเมริกันชื่อว่า Dorian M. Rayme และ Douglas E. Smith ได้ตีพิมพ์บทความเรื่อง Spontaneous knotting of an agitated string พวกเขาเริ่มต้นงานวิจัยด้วยการทดลองง่าย ๆ โดยเอาเส้นเชือกลักษณะคล้ายหูฟัง เส้นผ่านศูนย์กลาง 3.2 มิลลิเมตร มาขดให้เป็นวงแล้วใส่ลงไปในกล่องสี่เหลี่ยมขนาด 30x30x30 เซนติเมตร ถ่ายรูปเอาไว้จากนั้นก็หมุนกล่องนั้นด้วยอัตรา 1 ต่อวินาทีนาน 10 วินาที แล้วถ่ายรูปอีกครั้งเพื่อเปรียบเทียบก่อนและหลังการหมุน ทำแบบนั้นซ้ำ ๆ โดยเปลี่ยนความยาวของเส้นเชือกเรื่อย ๆ

ผลที่ได้ก็คือ โอกาสที่จะเกิดปม (Knot Probability) มีความสัมพันธ์ความยาว (String length) ของเส้นเชือกตามกราฟต่อไปนี้

จากกราฟเราจะเห็นว่าเส้นเชือกที่ยาวน้อยกว่า 0.46 เมตรจะไม่มีทางเกิดปมเด็ดขาด และโอกาสเกิดปมจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อเชือกยาวขึ้น จนกระทั่งเมื่อเชือกยาวถึง 1.5 เมตร โอกาสเกิดปมก็จะค่อย ๆ กลายเป็นค่าคงที่ หมายความว่าสำหรับเชือกที่ยาวเกิน 1.5 เมตร ไม่ว่าเชือกจากยาวแค่ไหน โอกาสที่จะเกิดปมก็จะเท่าเดิม

ซึ่งผลการทดลองนี้สวนทางกับแนวคิดการเดินแบบสุ่มในสองมิติอย่างสิ้นเชิง เพราะสำหรับการเดินแบบสุ่มในสองมิตินั้น เราสามารถพิสูจน์ในทางคณิตศาสตร์ได้ว่า โอกาสที่จะเกิดปมจะมากขึ้นเรื่อย ๆ ตามความยาวของเส้นเชือก ไม่ใช่หยุดอยู่ที่ค่า ๆ หนึ่งเหมือนที่ได้จากการทดลอง

นอกจากนั้น เมื่อพวกเขาพิจารณาค่าที่แสดงถึงความซับซ้อนของปมที่เกิด อันได้แก่จำนวนชนิดของปมที่เกิด (number of types) และจำนวนการตัดกันเฉลี่ย (mean of crossing number) ก็พบว่าในแบบจำลองการเดินแบบสุ่มในสองมิติ ทั้งสองค่าควรจะมีค่าสูงขึ้นเรื่อย ๆ ตามความยาว แต่ผลจากการทดลองกลับบอกว่าสองค่านี้จะเริ่มคงที่เมื่อความยาวเส้นเชือกมากกว่า 1.5 เมตรเช่นกัน

ผลการทดลองนี้กำลังบอกอะไรเรา? มันกำลังบอกเราว่า แนวคิดเรื่องการเดินแบบสุ่มในสองมิติไม่ใช่แบบจำลองที่เหมาะจะเอามาใช้อธิบายปรากฎการณ์ที่เกิดขึ้นกับหูฟังของเราในกระเป๋า

แล้วจริง ๆ มันเกิดอะไรขึ้นในนั้นกันแน่

หลังจาก Rayme และ Smith ได้ถล่มแนวคิดที่จะเอาการเดินแบบสุ่มในสองมิติมาอธิบายการเกิดปมของหูฟังในกระเป๋าอย่างเละเทะไปแล้ว พวกเขาก็ได้เสนอแนวคิดใหม่เพื่อมาอธิบายปรากฏการนี้แทน 

พวกเขาเสนอว่า จริง ๆ แล้วปลายด้านหนึ่งของหูฟังนั้นกำลังเคลื่อนที่แบบสุ่มจริง แต่ในหนึ่งมิติเท่านั้น ไม่ใช่สองมิติอย่างที่เคยเข้าใจ

แบบจำลองที่พวกเขาเสนอคือ พิจารณาเส้นเชือกถูกขดไว้เป็นวงกลม โดยที่ให้จุดสี่ขาวแทนปลายด้านหนึ่งของเชือกที่เคลื่อนที่ขึ้นลงอย่างอิสระ ปลายสีขาวอันนั้นจะเคลื่อนที่ขึ้นหรือลงด้วยโอกาสเท่า ๆ กันเพื่อสลับตำแหน่งกับเชือกเส้นอื่น ๆ ที่แสดงด้วยจุดสีดำ โดยในแต่ละครั้งที่มีการสลับ จุดสีขาวอาจจะข้าม หรือลอดด้านใต้ของอีกเส้นหนึ่งไปก็ได้ ตัวอย่างในภาพแสดงให้เห็นว่าในครั้งแรกจุดสีขาวเคลื่อนที่ลงโดยข้าม ครั้งที่สองก็ลงแต่คราวนี้ลอดด้านใต้ และครั้งที่สามเป็นการเคลื่อนที่ขึ้นโดยข้ามแทน

พวกเขาเรียกแบบจำลองนี้ว่าการเคลื่อนที่แบบมัดเปีย (braid moves) ซึ่งเมื่อนำแนวคิดการเคลื่อนที่แบบมัดเปียนี้ไปสร้างเป็น simulation ในคอมพิวเตอร์ ปรากฏว่าได้ผลลัพท์ออกมาตรงกันกับผลจากหมุนทดลองเส้นเชือกในกล่องอย่างมาก ไม่ว่าจะเป็นค่าโอกาสในการเกิดปม จำนวนชนิดของปมที่เกิด และจำนวนการตัดกันเฉลี่ย นอกจากนั้นพวกเขายังสามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้อีกด้วยว่าแบบจำลองการเกิดปมด้วยการเคลื่อนที่แบบมัดเปียนั้น แม้การเคลื่อนที่จะดูจำกัดกว่า แต่ก็สามารถทำให้เกิดปมชนิดหลักได้ทุกรูปแบบไม่ต่างจากการเดินอย่างสุ่มในสองมิติเลยด้วย

สุดท้ายแล้วงานวิจัยนี้ให้อะไรเรา

งานวิจัยชิ้นนี้ได้รับรางวัล Ig Nobel สาขาฟิสิกส์ประจำปี 2008 ซึ่งใครที่รู้จักรางวัลนี้อยู่แล้วก็น่าจะพอเดาออกแล้วว่าเพราะอะไร 

รางวัล Ig Nobel เป็นรางวัลที่ตั้งขึ้นมาเพื่อล้อเลียนรางวัล Nobel ที่จะมอบให้กับงานวิจัยที่ดี มีคุณค่าและสร้างคุณประโยชน์ให้กับมนุษยชาติ ในขณะที่รางวัล Ig Nobel จะมอบให้กับงานวิจัยที่หัวข้ออาจจะดูเกรียน ๆ ดูนอกคอก และไร้ประโยชน์ไปสักหน่อย แต่ผู้วิจัยมีความทุ่มเท และศึกษาสิ่งนั้นอย่างจริงจังไม่ต่างกัน

เพราะในท้ายที่สุด แม้เราจะได้รู้จากงานวิจัยชิ้นนี้ว่าจริง ๆ แล้วการเกิดปมของหูฟังในกระเป๋านั้นจะมีที่มาจากการเคลื่อนแบบมัดเปีย ไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบคนเมา แต่มันก็ไม่ได้ช่วยให้เราสามารถจัดการกับเจ้าปมพวกนั้นแต่อย่างใดเลย สุดท้ายไม่ว่าปลายของหูฟังจะเคลื่อนที่แบบไหน ปมที่แสนซับซ้อนพวกนั้นก็จะยังเกิดอยู่ดี และหนทางเดียวที่จะป้องกันไม่ให้เกิดปมพวกนั้นก็คือการซื้อกิ๊บมาติดล็อคหูฟังเอาไว้

ก็นั่นแหละฮะ อาจจะฟังดูเนิร์ดไปหน่อย แต่การได้ศึกษาจนเข้าใจ ความเป็นไปของอะไรต่อมิอะไรในธรรมชาติ ก็ยังเป็นสิ่งที่ดึงดูดนักวิทยาศาสตร์ (และคณิตศาสตร์) จำนวนมากได้อยู่เสมอ ไม่ว่าจะยุคไหนสมัยไหนก็ตาม

อ้างอิง: Dorian M. Raymer, Douglas E. Smith, Spontaneous knotting of an agitated string, PNAS (2007)

นักคณิตศาสตร์ฝึกหัด ชอบพูด ชอบเขียน ชอบกินบุฟเฟ่ต์