TOP

จับผิดกลเปลี่ยนผลการเลือกตั้งด้วยการแบ่งเขต เมื่อนักคณิตศาสตร์ต้องรับบทเป็นนักสืบ

ยิ่งใกล้การเลือกตั้งเข้ามาเท่าไร เราก็ยิ่งสัมผัสได้ถึงบรรยากาศทางการเมืองที่เข้มข้นขึ้นเท่านั้น อย่างเมื่อวันที่ 19 พฤศจิกายนที่ผ่านมา ที่มีข่าวออกมาว่าผลการแบ่งเขตสำหรับการเลือกตั้งครั้งที่กำลังจะมาถึงของบ้านเรานั้นอาจจะล่าช้าออกไปด้วยปัญหาทางด้านสุขภาพของท่านประธานกกต. ก็มีเสียงวิพากษ์วิจารณ์กันว่าจริง ๆ แล้วเป็นการยื้อเวลาในการปรับรูปแบบการแบ่งเขตเพื่อเอื้อประโยชน์ให้กับบางฝ่ายรึเปล่า บางคนฟังแล้วอาจจะบอกว่าจะใส่ใจอะไรนักหนากับแค่วิธีการแบ่งเขตเลือกตั้ง แต่จริง ๆ แล้วหากพิจารณาดูให้ดี จะเห็นว่าวิธีการแบ่งเขตเลือกตั้งนั้นมีความสำคัญมากกว่าที่เราคิดกันมาก มากถึงขนาดที่ว่าสามารถเปลี่ยนผลการเลือกตั้งได้เลยด้วยซ้ำ

หนึ่งในตัวอย่างใช้อธิบายความสำคัญของการแบ่งเขตเลือกตั้งได้ดีคือสถานการณ์ดังภาพ จะเห็นว่าผลการเลือกตั้งของพรรคสีเขียวและพรรคสีเหลืองในพื้นที่หนึ่งซึ่งจะถูกแบ่งเป็น 5 เขตเลือกตั้งนั้น มีคนที่เลือกพรรคสีเหลือง 60% และเลือกพรรคสีเขียว 40% หากเราแบ่งเขตเลือกตั้งแบบ (a) จนได้ว่าพรรคสีเหลืองชนะทุกเขต และได้ผู้แทนจำนวน 5 คน ในขณะที่ถ้าแบ่งแบบ (b) จะเห็นว่ามีเขตที่พรรคสีเขียวชนะไปถึง 3 เขต ซึ่งมากกว่าของพรรคสีเหลืองที่มีคนเลือกเยอะกว่าด้วยซ้ำ ดังนั้นจะเห็นได้ว่าวิธีการแบ่งเขตเลือกตั้งนั้นสำคัญ และสามารถเปลี่ยนผลการเลือกตั้งได้จริง ๆ

การพยายามเล่นตุกติกกับวิธีแบ่งเขตเลือกตั้งเพื่อผลลัพท์บางอย่างนั้นถูกเรียกว่าการ Gerrymandering ตามชื่อของนาย Elbridge Gerry ผู้ว่าการรัฐแมสซาชูเซตส์ผู้เคยได้ใช้อำนาจในตำแหน่งมากระทำการนี้ เพื่อทำให้พรรคของตัวเองได้รับชัยชนะเมื่อปี 1812 โดยวิธีที่เค้าใช้เล่นกลนั้นต่อมาถูกเรียกว่า cracking และ packing หรือคือการพยายามแบ่งเขตเพื่อแยกเสียงของพรรคฝ่ายตรงข้ามออกจากกัน และพยายามรวมเสียงของพรรคตัวเองเข้าด้วยกัน เพื่อให้ได้ผลคล้าย ๆ ตามภาพในตัวอย่าง เขาปรับเปลี่ยนจนรูปร่างหน้าตาของเขตเลือกตั้งออกมาประหลาดเหมือนตัวซาลามานเดอร์ จนใคร ๆ ก็ดูออกว่าต้องมีกลโกงบางอย่างอยู่แน่ ๆ แต่เมื่อเรื่องนี้ไปถึงชั้นศาล คำถามที่เกิดขึ้นในศาลก็คือ แล้วเราจะวัดความ ‘ยุติธรรม’ ของวิธีการแบ่งเขตเลือกตั้งได้อย่างไร ตรงไหนที่เราจะฟันธงลงไปได้ว่าต้องมีความไม่ชอบมาพากลบางอย่างอยู่เบื้องหลังการแบ่งเขตแบบนี้แน่ ๆ ก็เลยร้อนถึงนักคณิตศาสตร์ต้องมาพยายามหาทางตอบ

การแบ่งเขตเลือกตั้งที่ดีหรือยุติธรรมนั้น ควรจะสะท้อนถึงเสียงของประชาชนมากที่สุด ดังนั้นหากพิจารณาดูก็จะเห็นว่าวิธีการแบ่งเขตเลือกตั้งแบบในตอนแรกนั้นต่างก็ไม่เข้าท่าพอกันทั้งคู่ เพราะแม้ว่าการแบ่งแบบ (a) นั้นจะทำให้พรรคสีเหลืองจะเป็นฝ่ายชนะอย่างที่ควรจะเป็นก็จริง แต่จริง ๆ แล้วในทั้งพื้นที่นั้นพรรคสีเหลืองไม่ได้ชนะขาดลอยขนาด 5 ต่อ 0 ตามผลที่ออกมา มีคนตั้ง 40% ที่เลือกพรรคสีเขียว รูปแบบการแบ่งเขตเลือกตั้งในอุดมคติจริง ๆ แล้ว ควรทำให้อัตราส่วนของจำนวนผู้แทนของแต่ละพรรค เท่ากับอัตราส่วนของคนที่เลือกพรรคนั้นในพื้นที่นั้นสิ อย่างในกรณีนี้ มีคนเลือกสีเหลือง 60% ดังนั้นการแบ่งเขตเลือกตั้งที่ดีก็ควรจะทำให้พรรคสีเหลืองก็ควรได้ผู้แทนคิดเป็น 60% ของ 5 คน หรือคือ 3 คน ตามวิธีแบบ (c) หรือ (d) ในภาพถัดไปนั่นเอง

แต่ในโลกของความเป็นจริงมันไม่ได้ง่ายขนาดนั้น เพราะหากผลดันออกมาว่า พรรคสีเหลืองได้คะแนนไปทั้งหมด 65% แปลว่าพรรคสีเหลืองควรได้ผู้แทน 3.25 คน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ แล้วเราจะเอายังไงกับทศนิยมพวกนั้นดี ก็มีคนเสนอแนวคิดที่เรียกว่า Partisan symmetry ขึ้นมา เพื่อให้เข้าใจง่าย เราจะแสดงข้อมูลเป็นกราฟ ให้แกนนอนเป็นอัตราส่วนของคะแนนโหวตที่พรรคหนึ่งได้ในพื้นที่นั้น และแกนตั้งเป็นอัตราส่วนของจำนวนผู้แทนที่พรรคนั้นได้ แน่นอนว่ากราฟจะออกมาเป็นรูปขั้นบันได เพราะพรรคไม่สามารถมีจำนวนผู้แทนเป็นเลขติดทศนิยมได้

จากกราฟที่ของการแบ่งเขตการเลือกตั้งจริง ๆ ของรัฐมินนิโซตากับรัฐโอไฮโอเมื่อปี 2016 โดยที่ลองสมมุติว่าคนที่โหวตให้แต่ละพรรคกระจายตัวกันอยู่ในแต่ละเขตเลือกตั้งอยู่อย่างสม่ำเสมอ ลองดูที่กราฟของมินิโซตาดูดี ๆ จะเห็นว่า ขั้นล่างสุดของบันไดอยู่ตรงแถว ๆ 0.3 นั่นแปลว่ากว่าที่พรรค A จะได้ผู้แทนคนแรก พรรคต้องได้เสียงถึง 30% ก่อน ในทางกลับกัน ลองดูขั้นบนสุดของบันไดบ้าง จะเห็นว่าอยู่ที่ราว 0.7 แปลว่าการที่พรรค A จะเสียผู้แทนให้พรรค B คนแรกนั้น พรรค A ต้องได้เสียงน้อยกว่า 70% นั่นคือการที่พรรค B จะได้ผู้แทนคนแรก ก็ต้องได้เสียงราว 30% เช่นกัน ในขณะที่กราฟของรัฐโอไฮโอให้ผลต่างกันออกไป บันไดขั้นแรกจากข้างล่างอยู่แถว ๆ 0.4 นั่นแปลว่าการที่พรรค A จะได้ผู้แทนคนแรกต้องใช้เสียงถึง 40% แต่การที่พรรค B จะได้ผู้แทนคนแรกนั้นต้องใช้เสียงเพียงแค่ราว 10% เท่านั้นเอง เพราะขั้นสุดท้ายของบันไดอยู่ที่แถว ๆ ค่า 0.9 ซึ่งนี่แสดงให้เห็นถึงความไม่ยุติธรรมที่เกิดขึ้นที่รัฐโอไฮโออย่างชัดเจน

แนวคิดเรื่อง Partisan symmetry บอกว่า การแบ่งเขตเลือกตั้งที่ดีนั้น กราฟที่ได้ออกมาควรจะสมมาตร นั่นคือทั้งสองพรรคควรจะได้เสียงมาเท่ากัน เพื่อให้ได้ผู้แทนจำนวนเท่ากัน ไม่ใช่ว่าพรรคไหนต้องทำงานมากกว่าพรรคไหน ซึ่งวิธีการวัดคุณภาพของการแบ่งเขตเลือกตั้งแบบนี้ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายเพราะว่าง่ายและเห็นภาพชัดเจน แต่อย่างไรก็ดี วิธีนี้ก็ยังมีจุดอ่อนที่สำคัญก็คือ วิธีนี้ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าเชิงปริมาณได้ มันยากที่จะบอกลงไปว่ากราฟที่เรามีนั้นสมมาตรพอรึยัง แล้วถ้าจะให้ดีมันต้องสมมาตรแค่ไหน แค่ไหนเรียกสมมาตร

อีกตัววัดหนึ่งที่ได้รับความนิยมไม่แพ้กันคือการใช้ค่า efficiency gap วิธีนี้จะมองคุณภาพของการแบ่งเขตเลือกตั้งในมุมมองที่ต่างออกไป นั่นคือไปสนใจ ‘คะแนนเสีย’ หรือ waste vote โดยนิยามคะแนนเสียว่ามาได้จากสองกรณี นั่นก็คือคะแนนในส่วนของพรรคที่แพ้ในเขตนั้น และคะแนนส่วนเกินของพรรคที่ชนะในเขตนั้น เช่นสมมุติว่าในเขตเลือกตั้งหนึ่งมีคนเลือกพรรค A ถึง 60 คน และอีก 40 คนเลือกพรรค B ซึ่งแสดงว่าเขตนั้นผู้แทนจากพรรค A ชนะไป นั่นแปลว่า 40 เสียงที่เลือกพรรค B นั้นเป็นคะแนนที่เสีย เพราะคะแนนนี้ไม่ได้นำไปสู่การได้ผู้แทนเลยสักคน หากนำไปโปะดี ๆ ก็อาจจะทำให้พรรค B ไปชนะในเขตอื่น ๆ ได้อีก ในขณะที่ 9 คะแนนเสียงที่เกินออกมาของพรรค A นั้นก็นับเป็นคะแนนเสียเช่นกัน เพราะจริง ๆ พรรค A ต้องการแค่ 51 คะแนนก็จะชนะในเขตนี้แล้ว

พูดในอีกนัยนึง คะแนนเสียก็คือคะแนนที่ไม่ได้ถูกนำไปมีผลต่อจำนวนผู้แทนที่ได้ แน่นอนว่าไม่มีพรรคใดต้องการให้เกิดคะแนนเสียของพรรคตัวเองแน่ ๆ และทุกพรรคย่อมอยากให้คะแนนของพรรคฝ่ายตรงข้ามกลายเป็นคะแนนเสียเยอะ ๆ และกลวิธี cracking และ packing ที่คุณ Gerry ใช้ในตอนนี้ ก็คือการพยายามลดคะแนนเสียของฝ่ายตัวเอง และเพิ่มคะแนนเสียของฝ่ายตรงข้ามนั่นเอง การทำให้การเลือกตั้งไม่มีคะแนนเสียเลยนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นระบบเลือกตั้งที่ดีควรจะทำให้ทั้งสองพรรคมีคะแนนเสียเท่า ๆ กันเพื่อความเท่าเทียม เรานิยามให้ค่า efficiency gap หรือ EG ให้เป็นผลต่างของคะแนนระหว่างสองพรรคหารด้วยจำนวนคนทั้งหมด ดังนั้นการแบ่งเขตเลือกตั้งที่ดีควรจะมีค่า EG น้อย ๆ หรืออุดมคติคือควรเท่ากับ 0 นั่นเอง

ทีนี้เรากลับไปดูตัวอย่างศึกการเลือกตั้งระหว่างพรรคสีเหลืองกับพรรคสีเขียวในตัวอย่างแรกสุด ถ้าเราคิดค่า EG โดยเอาคะแนนเสียของพรรคสีเขียวเป็นตัวตั้ง จะได้ว่าการแบ่งแบบ (a) ให้ค่า EG เท่ากับ 0.7 ซึ่งแปลว่าการแบ่งแบบนี้ทำให้พรรคสีเขียวเสียเปรียบมาก ๆ การแบ่งแบบ (b) ให้ค่า EG เท่ากับ -0.3 ซึ่งแปลว่าคราวนี้เป็นพรรคสีเหลืองได้เปรียบ การแบ่งแบบ (c) ให้ค่า EG เท่ากับ -0.2 และสุดท้ายการแบ่งแบบ (d) ให้ค่า EG เท่ากับ -0.1 ซึ่งก็ยังแสดงว่าพรรคสีเหลืองได้เปรียบอยู่ดี แต่ก็ไม่ได้มากนัก โดยจะเห็นว่าวิธีการแบ่งแบบ (d) นั้นเป็นวิธีที่ดูจะยุติธรรมที่สุดในทั้งสี่วิธีที่ยกมา
ส่วนคำถามที่ว่า แล้วค่า EG มันควรอยู่ที่เท่าไรจึงจะจัดว่าเป็นการแบ่งเขตเลือกตั้งที่ดี จากบทความเรื่อง Partisan Gerrymandering and the Efficiency Gap โดยนักกฏหมายจากมหาวิทยาลัยชิคาโก ได้เสนอไว้ว่าถ้าค่า EG ควรจะอยู่ในช่วงระหว่าง -0.08 ถึง 0.08 เราจะจัดว่าวิธีการแบ่งเขตเลือกตั้งนั้นเป็นรูปแบบที่ดีหรือยุติธรรมเพียงพอ

แต่แม้ว่าค่า EG จะถูกใช้อย่างกว้างขวาง ในความจริงแล้วหากพิจารณาให้ถี่ถ้วนในทางคณิตศาสตร์ จะเห็นว่ายังเป็นค่าที่มีจุดอ่อนอยู่มาก ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดเลยก็คือการแบ่งเขตแบบ (c) และ (d) ในตัวอย่างพรรคเหลืองพรรคเขียวของเรา ซึ่งมีอัตราส่วนผู้แทนตรงกับอัตราส่วนเสียงที่พรรคได้ตามที่เราต้องการแล้ว แต่เมื่อคำนวนค่า EG ออกมา กลับได้ว่ายังเป็นรูปแบบการแบ่งเขตที่สอบตกเงื่อนไข -0.08 ถึง 0.08 อยู่ และในทางตรงกันข้าม ก็มีสถานการณ์มากมายที่ค่า EG นั้นต่ำมาก แต่อัตราส่วนระหว่างจำนวนผู้แทนกับคะแนนเสียงที่ได้นั้นไม่สอดคล้องกันเลย
สาเหตุที่ทำให้เกิดสถานการณ์แบบนั้น สามารถอธิบายได้ในทางคณิตศาสตร์จากสูตรคำนวน EG

NL;BG – Not Long, But Geek

กำหนดตัวแปรให้ \(T_A\) และ \(T_B\) แทนคะแนนเสียงทั้งหมดที่พรรค A และ B ได้ตามลำดับ \(S_A\) และ \(S_B\) แทนจำนวนผู้แทนที่พรรค A และ B ได้ตามลำดับ \(W_A\) และ \(W_B\) แทนคะแนนเสียของพรรค A และ B ได้ตามลำดับ จะได้ความสัมพันธ์ว่า

\(W_A=T_A-\frac{S_AT}{2S}\) 

และ 

\(EG=\frac{W_A-W_B}{T}=\frac{T_A-T_B}{T}-\frac{S_A-S_B}{2S}\)

ซึ่งเมื่อ \(EG=0\) จะได้ว่า \(\frac{T_A-T_B}{T}=\frac{1}{2}\cdot\frac{S_A-S_B}{S}\) ทั้งที่จริงแล้ว ตามสามัญสำนึกของเรา ระบบเลือกตั้งที่ดีควรจะมีอัตราส่วนของผู้แทนที่ได้ของแต่ละพรรค ที่ใกล้เคียงกับอัตราส่วนของคะแนนเสียงที่ได้ นั่นคือ \(\frac{T_A-T_B}{T}=\frac{S_A-S_B}{S}\) ต่างหาก ยิ่งไปกว่านั้นเมื่อ \(\frac{T_A}{T}>0.79\) จะได้ว่า \(\frac{T_A-T_B}{T}>0.79-0.21=0.58\) ซึ่งถ้าเราต้องการให้ \(EG<0.08\) จะได้ว่า \(\frac{S_A-S_B}{S}>1\) ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ดังนั้นการพยายามลดคะแนนเสีย หรือทำให้ค่า EG น้อย ๆ อาจจะไม่ได้ส่งผลให้เกิดการเลือกตั้งที่สะท้อนเสียงของประชาชนในอุดมคติของเราได้เสมอไป สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า การจะวัดว่าระบบการแบ่งเขตเลือกตั้งแบบไหนดีหรือไม่ดีนั้น สุดท้ายก็ขึ้นอยู่กับมุมมองของผู้แบ่งด้วย ว่าจะให้ความสำคัญกับแง่มุมไหนมากกว่ากัน นี่ยังไม่นับว่าค่า EG นั้นจะใช้วัดอะไรได้แย่มากในกรณีที่การเลือกตั้งมีความสูสี ให้ผลที่เป็นไปไม่ได้ในกรณีที่สองพรรคมีผลคะแนนทิ้งห่างกันมากเกินไป

จะเห็นได้ว่า ทั้งสองวิธีที่นำเสนอมานั้นก็เป็นความพยายามที่จะวิเคราะห์ความยุติธรรมของการแบ่งเขตเลือกตั้ง ซึ่งต่างมีข้อดีและข้อเสียงที่แตกต่างกันไป และต้องไม่ลืมว่าจนถึงจุดนี้ เรายังไม่ได้เอาตัวแปรอื่น ๆ มาพิจารณาอีกเยอะแยะไปหมด อย่างเช่นรูปร่างหน้าตาของเขตเลือกตั้งที่ไม่ควรจะดูประหลาดมากเกินไป จึงทำให้ในปัจจุบันก็ยังมีผู้ที่สนใจศึกษาเรื่องนี้อย่างจริงจัง อย่างเช่นที่กลุ่มวิจัย Metric Geometry and Gerrymandering ของศาสตราจารย์ Moon Duchin ที่มหาวิทยาลัย Tufts ประเทศสหรัฐอเมริกา ที่มีเป้าหมายจะใช้เรขาคณิต ทฤษฏีกราฟ โทโพโลจี รวมถึงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์และการคำนวนขั้นสูงอื่น ๆ เพื่อมาศึกษารูปแบบของการแบ่งเขตเลือกตั้ง และหาทางป้องกันการ Gerrymandering ให้ได้มากที่สุด

อ้างอิง: KhaosodSmithsonianmagQuanta magazine: How to Quantify (and Fight) Gerrymandering

Quanta magazine: The Math Behind Gerrymandering and Wasted VotesarXiv:1801.02064arXiv:1705.10812Chicago unboundmggg

นักคณิตศาสตร์ฝึกหัด ชอบพูด ชอบเขียน ชอบกินบุฟเฟ่ต์