TOP

ข้อคาดการณ์ของรีมันน์ถูกอ้างว่าพิสูจน์ได้ ข่าวใหญ่ที่อาจทำให้นักคณิตศาสตร์ทั้งโลกต้องร้องออกมาพร้อมกันว่า &^!T$%$TU$^%L

เรื่องก็มีอยู่ว่า เมื่อวันศุกร์ที่ 21 กันยายนที่ผ่านมา เว็บไซต์ New Scientist ได้ลงข่าวซึ่งพาดหัวว่า “นักคณิตศาสตร์ชื่อดังอ้างว่าสามารถพิสูจน์ข้อคาดการณ์ของรีมันน์ที่มีอายุ 160 ปีได้” สำหรับคนนอกวงการอ่านหัวข้อข่าวนี้แล้วก็อาจจะทำหน้างง ๆ เกาหัวแกร่ก ๆ แล้วนึกในใจว่า ‘อิหยังวะ’ แต่สำหรับคนในแวดวงคณิตศาสตร์ เรื่องนี้เป็นเรื่องใหญ่ ใหญ่มากเกินกว่าจะปล่อยให้ผ่านตาไปได้ง่าย ๆ

ข้อคาดการณ์ของรีมันน์ (Riemann hypothesis) เป็นหนึ่งในโจทย์คณิตศาสตร์ที่ถือกันว่ายากที่สุดในปัจจุบัน ก่อนที่จะไปพูดถึงตัวโจทย์ ขอโฆษณาความยากของกันก่อน ข้อคาดการณ์ของรีมันน์ถูกตั้งขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ชื่อว่าแบร์นฮาร์ด รีมันน์ (Bernhard Riemann) เมื่อปี 1859 เป็นข้อความข้อความหนึ่ง ที่รีมันน์อ้างว่าเป็นความจริง แต่ไม่ได้แสดงบทพิสูจน์ไว้ 

ในทางคณิตศาสตร์ เราไม่สามารถเชื่อและยอมรับการกล่าวอ้างข้อความบางอย่างขึ้นมาเฉย ๆ โดยไม่มีการพิสูจน์อย่างนี้ได้ แต่เนื่องจากผลของข้อคาดการณ์นี้ (หากรีมันน์คาดการณ์ถูก) สามารถนำไปใช้เป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาปัญหาอื่น ๆ ในทางคณิตศาสตร์ได้อีกมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการประมาณรูปแบบการกระจายของจำนวนเฉพาะ ซึ่งก็เป็นไม้เบื่อไม้เมากับนักคณิตศาสตร์มาแสนนานไม่แพ้กัน ดังนั้นจึงมีนักคณิตศาสตร์ชั้นแนวหน้าของโลกมากมายพยายามพิสูจน์ข้อคาดการณ์ของรีมันน์นี้ แต่ก็ไม่มีใครทำสำเร็จเสียที จนทำให้เมื่อปี 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ยกให้สมมุติฐานของรีมันน์เป็นหนึ่งในปัญหาคณิตศาสตร์แห่งสหัสวรรษ และได้ตั้งรางวัล 1 ล้านดอลล่าร์สหรัฐ ให้กับใครก็ตามที่สามารถพิสูจน์ (หรือหักล้าง) ข้อคาดการณ์ข้อนี้ได้

กลับมาที่ข่าวเมื่อวันศุกร์ เรื่องมันเกิดขึ้นตรงที่ว่า มีคนดันไปเจอว่าบทคัดย่อของนักคณิตศาสตร์คนหนึ่งที่จะบรรยายในงาน Heidelberg Laureate Forum ซึ่งจะจัดขึ้นระหว่างวันที่ 23-28 กันยายนนี้ที่ประเทศเยอรมัน เขียนเอาไว้ว่าเขาจะแสดงบทพิสูจน์อย่างง่าย ๆ ของข้อคาดการณ์ของรีมันน์ ซึ่งเรื่องนี้จะไม่น่าตื่นเต้นเลยหากคนพูดเป็นนักคณิตศาสตร์โนเนมที่ไหนก็ไม่รู้ เพราะตลอด 160 ปีที่ผ่านมาก็มีคนพยายามอ้างว่าตัวเองสามารถพิสูจน์สมมุติฐานของรีมันน์ได้เต็มไปหมด แต่สุดท้ายก็แป้กไปทุกราย แต่คราวนี้คือที่พูดดันเป็นนักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวอังกฤษวัย 90 ปีอย่างไมเคิล อาติยา (Michael Atiyah) เจ้าของรางวัลอาเบล และเหรียญฟีลด์ ซึ่งถือกันว่าเป็นรางวัลโนเบลของแวดวงคณิตศาสตร์ แถมเขาพูดกึ่ง ๆ โม้ด้วยความมั่นใจไว้ด้วยว่า 

ผู้คนเชื่อว่านักคณิตศาสตร์สักคนจะสร้างผลงานที่ดีที่สุดในชีวิตได้จนถึงอายุ 40 เท่านั้น แต่ผมจะแสดงให้เห็นว่าพวกเขาคิดผิด พวกเขาได้เห็นว่าผมทำอะไรได้บ้างตอนอายุ 90

Michael Atiyah

Michael Atiyah (ภาพจาก: James Glossop/The Times/News Syndication)

ตามกำหนดการ การบรรยายของเขาจะเริ่มขึ้นในวันวันจันทร์ที่ 24 กันยายนนี้ เวลา 9.45 น. ตามเวลาประเทศเยอรมัน หรือ 14.45 น. ตามเวลาประเทศไทย แม้ว่าจะไม่ค่อยมีใครคาดหวังกับบทพิสูจน์ของเขาเท่าไร เพราะในอดีตก็เคยมีเหตุการณ์ที่เขาเคยประกาศว่าพิสูจน์บางอย่างที่สำคัญได้ในลักษณะนี้ แต่สุดท้ายก็เป็นบทพิสูจน์ที่ไม่สมบูรณ์ดี แต่คาดว่าจะมีนักคณิตศาสตร์จำนวนมากจับตาดูกันจากทั่วทุกมุมโลกอยู่ดี ไม่มีใครรู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกันแน่ในการบรรยายที่กำลังจะเกิดขึ้นของเขา ความเป็นไปได้แรกคือบทพิสูจน์ของเขาถูกต้อง และเราจะได้เห็นการเฉลิมฉลองกันอย่างบ้าคลั่งของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกแบบเดียวกับตอนที่ แอนดรู ไวล์ (Andrew Weil) สามารถพิสูจนทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา (Fermat’s last theorem) ลงได้เมื่อปี 1994 ความเป็นไปได้อย่างที่สองคือบทพิสูจน์นั้นผิด อาติยาเข้าใจผิดไปเองว่าเขาสามารถพิสูจน์ปัญหาระดับโลกนี้ได้ ซึ่งก็จะน่าอายหน่อย ๆ เพราะโม้ไว้ซะเยอะ แล้วก็คงจ๋อย ๆ กลับบ้านไป หรือความเป็นไปได้ที่สาม คือเขาอาจจะไม่ได้มีบทพิสูจน์ที่สมบูรณ์จริง ๆ อย่างที่อ้างไว้ แต่ก็สามารถเสนอแนวคิดใหม่ ๆ บางอย่าง ที่อาจจะไปจุดประกายให้นักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ไปต่อยอดได้

สำหรับผู้อ่านที่สนใจว่าไอ้เจ้าข้อคาดการณ์ที่มีรางวัลนำจับถึง 1 ล้านดอลล่าร์สหรัฐนี่มันหน้าตาเป็นยังไงหรอ ต้องออกตัวก่อนเลยว่ามันออกจะซับซ้อนสักหน่อย ถามตัวเองก่อนว่ารู้จักคำว่าฟังก์ชัน โดเมน จำนวนเชิงซ้อน และอนุกรมอนันต์หรือเปล่า ถ้าไม่ เราคงต้องแยกย้ายกันตรงนี้เลย แต่ถ้าคิดว่ารู้ หรือพอรู้อยู่บ้าง ก็เชิญกดเปิดอ่านต่อได้เลย //ผายมือ

NL;BG – Not Long, But Geek

พิจารณาฟังก์ชัน ที่นิยามผ่านอนุกรม

\(Z(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\)

เมื่อ \(s\) เป็นจำนวนจริง

จากความรู้วิชาแคลคูลัสจะได้ว่าอนุกรมนี้จะลู่เข้า (convergent) เมื่อ \(s>1\) และจะลู่ออกเมื่อ \(s\leq1\) ซึ่งแปลว่าถ้าเราแทนค่า \(s\) ด้วยจำนวนอะไรก็ตามที่มากกว่า \(1\) ก็จะได้ว่าฟังก์ชันนี้หาค่าได้ออกมาเป็นตัวเลขสักตัว และในทางกลับกัน หากเราแทนด้วยจำนวนที่น้อยกว่า \(1\) เช่น \(-1\) จะเห็นว่าอนุกรมจะกลายเป็น \(1+2+3+…\) ซึ่งลู่ออก

จริง ๆ แล้ว \(s\) ที่เอาไปแทนไม่ได้จำกัดอยู่แค่ในจำนวนจริงเท่านั้น แต่เรายังสามารถเอา \(s\) ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนเข้ามาแทนเพื่อหา \(Z(s)\) ได้ด้วย และเราพบว่า อนุกรมนี้จะลู่เข้า (convergent) เมื่อ \(\text{Re}(s)>1\) และจะลู่ออกเมื่อ \(\text{Re}(s)\leq1\) เพราะฉะนั้นเราจะเห็นว่าตอนนี้ค่า \(s\) ที่ทำให้ฟังก์ชัน \(Z(s)\) มีค่า ต้องเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ส่วนจริงมากกว่า \(1\) เท่านั้น

ทีนี้ รีมันน์พยายามที่จะขยายฟังก์ชันนี้ออกไป ให้สามารถแทนจำนวนเชิงซ้อนอะไรก็ได้ลงไป โดยนิยามฟังก์ชัน \(\zeta(s)\) ขึ้นมาใหม่ ที่ต่อมาถูกเรียกว่าฟังก์ชันรีมันน์ซีต้า (Riemann zeta function) โดยที่ไอ้เจ้าฟังก์ชันใหม่นี้ ถูกนิยามขึ้นมาให้เป็นการ ‘ขยาย’ โดเมนของฟังก์ชัน \(Z(s)\) เดิม นั่นคือค่าของ \(\zeta(s)\) ในบริเวณที่ \(\text{Re}(s)>1\) นั้นต้องมีค่าเท่ากับ \(Z(s)\)

เพื่อให้ฟังก์ชันที่ขยายขึ้นมีสมบัติที่สวยงามตามสมควร สูตรอย่างชัดแจ้งของฟังก์ชัน \(\zeta(s)\) นั้นจึงซับซ้อนมาก และจะไม่ยกมาตรงนี้ แต่อยากให้นึกภาพว่า คราวนี้ไม่ว่าเราจะมีจำนวนเชิงซ้อน \(s\) อะไรก็ตาม (ที่ไม่ใช่ \(1\)) เมื่อเอาไปใส่ในสูตรที่แสนซับซ้อนนี้ ก็จะออกมาเป็นจำนวนเชิงซ้อนอีกตัวหนึ่งเท่านั้นเอง

จากสูตรที่แสนซับซ้อนนั้น รีมันน์พบว่าสำหรับ \(s=-2,-4,-6,…\) เราได้ว่า \(\zeta(s)=0\) นั่นคือทุกจำนวนเต็มคู่ที่เป็นลบ เราพบว่าฟังก์ชันรีมันน์ซีต้าจะให้ค่าศูนย์ คำถามของเขาก็คือ มี \(s\) อื่นอีกไหม ที่ทำให้ฟังก์ชันนี้มีค่าเป็นศูนย์ได้ และคำตอบก็คือมี จากการคำนวนพบว่ามีจำนวนเชิงซ้อน \(s\) อีกหลายตัวเลขที่ทำให้ \(\zeta(s)=0\) แต่เรื่องแปลกก็คือ ส่วนจริง หรือ \(\text{Re}(s)\) ของจำนวนพวกนั้นล้วนมีค่าเท่ากับ \(\frac{1}{2}\) ทั้งสิ้น รีมันน์จึงคาดเดาว่า

“ถ้าไม่นับพวกจำนวนเต็มคู่ที่เป็นลบ จำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดที่ทำให้ \(\zeta(s)=0\) ได้นั้น จะต้องมีส่วนจริงเท่ากับ \(\frac{1}{2}\) เท่านั้น”

และนี่คือข้อคาดการณ์ของรีมันน์อันเลื่องชื่อ ดังนั้นการจะพิชิตเงิน 1 ล้านดอลล่าร์สหรัฐได้ สามารถทำได้สองทาง ทางหนึ่งคือการพิสูจน์ให้ได้ว่า ไม่มีจำนวนเชิงซ้อน \(s\) ตัวอื่น ๆ นอกจากพวกจำนวนเต็มคู่ลบ หรือพวกที่ส่วนจริงมีค่าเท่ากับ \(\frac{1}{2}\) อีกแล้วที่ทำให้ \(\zeta(s)=0\) ได้ หรือไม่ก็ต้องคัดค้านข้อความนี้ นั่นก็คือการหา \(s\) มาสักตัวที่ทำให้ \(\zeta(s)=0\) แต่ส่วนจริงของมันไม่เท่ากับ \(\frac{1}{2}\) นั่นเอง

อ้างอิง: New Scientist, Britannica, Youtube

นักคณิตศาสตร์ฝึกหัด ชอบพูด ชอบเขียน ชอบกินบุฟเฟ่ต์