ลดพื้นที่ในการจัดของ หรือเพิ่มความจุในพื้นที่เท่าเดิมด้วยเรขาคณิต

ลดพื้นที่ในการจัดของ หรือเพิ่มความจุในพื้นที่เท่าเดิมด้วยเรขาคณิต

เมื่อวันก่อนผมไปซื้อเป๊ปซี่ขวดเล็กมาแพ็คหนึ่ง โดยปกติผมจะแกะพลาสติกที่หุ้มด้วยการนำคัตเตอร์กรีดเป็นเส้นตรงตามแนวยาวระหว่างแถวของขวด แต่ครั้งนี้มันไม่ราบรื่นเหมือนครั้งก่อน ๆ เมื่อผมกรีดมาได้ระยะหนึ่งของแพ็คกลับพบว่าคัตเตอร์ผมไปชนขวด ผมจึงแปลกใจเพราะทุกทีมันเรียงเป็นระเบียบลากตรง ๆ ได้นี่ ผมจึงมองให้กว้างขึ้นมองให้เห็นแบบเต็ม ๆ แพ็ค ก็พบว่าเขาก็เรียงมาเป็นระเบียบดีนี่นา แต่แค่ครั้งนี้มีการเรียงที่แตกต่างไปจากครั้งก่อน ๆ เพราะเป๊ปซี่แพ็คนี้มีการขวดเรียงแบบ “สลับฟันปลา” แทนที่จะเป็นการเรียงแถวต่อกันธรรมดา

15419473_1758880441104297_1767638596_o

การจัดสรรพื้นที่ให้เล็กลง

หลายคนอาจกำลังสงสัยว่า ไอ้การเรียงแถวแบบสลับฟันปลานี้ มันแตกต่างอย่างไรกับการเรียงแถวต่อกัน คำตอบของถามนั้นคือ “มันใช้พื้นที่น้อยลงนั่นเอง”

%e0%b8%a3%e0%b8%b9%e0%b8%9b%e0%b8%97%e0%b8%b5%e0%b9%88-1

ถ้าสังเกตดี ๆ การเรียงแบบสลับฟันปลา 6 แถวจะสั้นกว่าการเรียงแบบปกติ 6 แถว และสังเกตให้ใกล้เข้าไปอีกจะเห็นว่าพื้นที่ว่างรอบขวด ๆ หนึ่งของการเรียงแบบแถวปกติ กับเรียงแบบสลับฟันปลามีขนาดที่แตกต่างกัน

%e0%b8%a3%e0%b8%b9%e0%b8%9b%e0%b8%97%e0%b8%b5%e0%b9%88-2-1

มาเปรียบเทียบให้ชัดกว่านี้ด้วยการคำนวณพื้นที่แรเงาของทั้ง 2 รูปนี้กัน

การเรียงแถวแบบปกติ

%e0%b8%aa%e0%b8%b5%e0%b9%88%e0%b9%80%e0%b8%ab%e0%b8%a5%e0%b8%b5%e0%b9%88%e0%b8%a2%e0%b8%a1

สังเกตวงกลมทั้ง 8 วงรอบ ๆ วงกลมที่เราสนใจมันเรียงสวยดีนะครับ เรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพอดีเลย ถ้าเราหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้แล้วเอาพื้นที่วงกลมที่เกินมาในกรอบสี่เหลี่ยม เราจะได้พื้นที่ว่างที่เราต้องการ ดังนี้

พื้นที่ว่างรูปแบบปกติ(A1) = พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส – พื้นที่ของวงกลมทั้งหมดภายในสี่เหลี่ยม

%e0%b8%aa%e0%b8%b5%e0%b9%88%e0%b9%80%e0%b8%ab%e0%b8%a5%e0%b8%b5%e0%b9%88%e0%b8%a2%e0%b8%a1-2

สมมติมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ตำแหน่งเดียวกับจุดศูนย์กลางวงกลม จะได้พื้นที่วงกลมที่เกินมารวมกันเป็น 4 วงกลม และให้วงกลมแต่ละวงรัศมี r จะได้ความยาวแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น 4r ดังนั้น

\displaystyle{A_{1}=(4r)^{2}-4\pi r^{2}=(16-4\pi)r^{2}}

การเรียงแถวแบบสลับฟันปลา

%e0%b8%ab%e0%b8%81%e0%b9%80%e0%b8%ab%e0%b8%a5%e0%b8%b5%e0%b9%88%e0%b8%a2%e0%b8%a1

สังเกตวงกลมทั้ง 6 วงรอบ ๆ วงกลมที่เราสนใจ คราวนี้เรียงเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าแหะ แต่เรายังสามารถใช้วิธีเดิมได้โดยการหาพื้นที่หกเหลี่ยมแล้วลบออกด้วยพื้นที่วงกลมที่เกินมาในกรอบหกเหลี่ยม เราจะได้พื้นที่ว่างที่เราต้องการดังนี้

พื้นที่ว่างรูปแบบสลับฟันปลา(A2) = พื้นที่หกเหลี่ยมด้านเท่า – พื้นที่ของวงกลมทั้งหมดภายในหกเหลี่ยม

%e0%b8%ab%e0%b8%81%e0%b9%80%e0%b8%ab%e0%b8%a5%e0%b8%b5%e0%b9%88%e0%b8%a2%e0%b8%a1-2

สมมติมุมของหกเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ตำแหน่งเดียวกับจุดศูนย์กลางวงกลม จะได้พื้นที่วงกลมที่เกินมารวมกันเป็น 3 วงกลม และให้วงกลมแต่ละวงรัศมี r จะได้ความยาวแต่ละด้านของหกเหลี่ยมด้านเท่าเป็น 2r ดังนั้น

\displaystyle{A_{2}=\frac{6\sqrt{3}}{4}(2r)^{2}-2\pi r^{2}=(6\sqrt{3}-3\pi)r^{2}}

เนื่องจากให้วงกลมแต่ละวงมีขนาดเท่ากัน เราจึงนำแค่  และ  มาเปรียบเทียบกัน เมื่อเรากดเครื่องคิดเลขจะได้ว่า  ดังนั้น

พื้นที่ว่างรูปแบบสลับฟันปลา < พื้นที่ว่างรูปแบบปกติ 

พื้นที่เท่าเดิมสามารถเพิ่มความจุได้

นอกจากการเรียงแบบสลับฟันปลาสามารถลดพื้นที่ในการจัดวางได้แล้ว เจ้าการเรียงแบบสลับฟันปลายังสามารถเพิ่มความจุได้ภายใต้เงื่อนไขพื้นที่เท่าเดิมได้ลองมานับจำนวนวงกลม 2 รูปนี้ดูครับ

%e0%b8%a3%e0%b8%b9%e0%b8%9b%e0%b8%97%e0%b8%b5%e0%b9%88-3b

นับได้เท่าไหร่กันครับ ผมขอยืนยันอีกทีว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมนี้เท่ากันจริง ๆ เพราะผมใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad วาดด้วยการสะท้อน และการหมุนเส้นและวงกลมจากการเริ่มต้มวงกลมวงเดียวครับ

%e0%b8%a3%e0%b8%b9%e0%b8%9b%e0%b8%97%e0%b8%b5%e0%b9%88-3-1b

นับได้เท่านี้กันไหมครับ คราวนี้เราก็สามารถจัดสรรพื้นที่ได้อย่างคุ้มค่าแล้ว แต่มีเงื่อนไขสำคัญอย่างหนึ่งสำหรับการเรียงแบบฟันปลา คือ ของที่นำมาเรียงต้องมีพื้นที่หน้าตัดเป็นวงกลมนะครับ หากคุณผู้อ่านท่านใดนำวิธีการเรียงแถวแบบรังผึ้งไปใช้แล้วประหยัดพื้นที่ลง สามารถแบ่งปันเพื่อนท่านอื่นได้ที่คอมเมนท์ของบทความนี้ หรือที่เพจ /soscity/ นะครับ

เขียนโดย

Jetzada Chuaychuwong

นิสิตภาควิชาคณิตศาสตร์ ผู้หลงใหลในความเรียบง่ายที่แฝงไปด้วยความซับซ้อน