Let’s Make a Deal เกมวัดดวงแต่ใช้ความน่าจะเป็น

Let’s Make a Deal เกมวัดดวงแต่ใช้ความน่าจะเป็น

ผมไปเจอเกมมาเกมหนึ่งเป็นเกมวัดดวง เอ๊ะ หรือเรียกว่าเกมวัดใจดี มันเป็นเกมง่าย ๆ เพียงแค่เลือกประตูบานใดบานหนึ่งจากทั้งหมด 3 บาน สามารถเปลี่ยนใจเลือกประตูอื่นที่เหลืออยู่ได้ 1 ครั้ง เลือกถูกก็รับรางวัลไป เห็นมั้ยครับง่ายจะตายแค่เลือกประตูมาสักบานนึงเท่านั้นเอง แต่เกมง่าย ๆ แบบนี้นักคณิตศาสตร์ก็สามารถนำเรื่องราวทางคณิตศาสตร์มาเชื่อมโยงกับมันได้ เกมนี้เป็นเกมโชว์ในประเทศสหรัฐอเมริกา ชื่อเกมว่า “Let’s Make a Deal“

Let’s Make a Deal

Let’s Make a Deal  นับเป็นรายการเกมโชว์ที่เก่าแก่มาก เกิดขึ้นตั้งแต่ปี 1963 หรือพ.ศ. 2506 ซึ่งรูปแบบดั้งเดิมจะเป็นการเชิญแขกรับเชิญมาเลือกประตู 1 ใน 3 ประตู โดยที่หลังประตูบานใดบานหนึ่งเป็น ‘รถยนต์’ ส่วนประตูบานที่เหลือจะเป็น ‘แพะ’ เมื่อแขกรับเชิญเลือกประตูบานหนึ่งแล้ว ผู้ดำเนินรายการ “มอนตี ฮอลล์” (Monty Hall) จะเปิดประตูที่ด้านหลังเป็นแพะ 1 บาน แล้วให้แขกรับเชิญเลือกอีกครั้งว่าจะเลือกประตูเดิมที่เลือกไว้ตอนแรก หรือจะเปลี่ยนใจไปเลือกประตูที่เหลือ ปัญหาของเกมโชว์เกมนี้ คือ แขกรับเชิญควรเปลี่ยนประตูหรือไม่ ถ้าเปลี่ยนจะมีโอกาสเลือกได้ประตูที่มีรถเพิ่มขึ้นมั้ย ซึ่งปัญหานี้ตั้งชื่อตามผู้ดำเนินรายการว่า “ปัญหามอนตี ฮอลล์” แล้วถ้าเป็นคุณผู้อ่านจะเลือกเปลี่ยนประตูหรือไม่

monty-hall-lets-make-a-deal
มอนตี้ ฮอลล์(Monty Hall) ผู้ดำเนินรายการ Let’s Make a Deal

ปัญหามอนตี ฮอลล์

ปัญหาเล็ก ๆ ที่ดูเหมือนไม่มีอะไรก็แค่เลือกว่าเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยนเท่านั้นเอง แต่เจ้าปัญหานี้มีนักคณิตศาสตร์ไขความลับของมันออกมาด้วย “ความน่าจะเป็น” ก่อนอื่นเรามาเรียบเรียงเงื่อนไขของปัญหานี้กันก่อน

  • หลังประตู 2 บาน มีแพะ หลังประตู 1 บาน มีรถยนต์
  • ผู้เล่นเลือกประตู 1 บาน จากทั้งหมด 3 บานนี้
  • ผู้ดำเนินรายการรู้อยุ่ก่อนแล้วอะไรอยู่หลังประตูแต่ละบาน
  • ผู้ดำเนินรายการเลือกเปิดประตูที่มีแพะซ่อนอยู่ 1 บาน
    • ถ้าผู้เล่นเลือกประตูที่มีแพะ ผู้ดำเนินรายการเลือกประตูที่มีแพะที่เหลือ
    • ถ้าผู้เล่นเลือกประตูที่มีรถยนต์ ผู้ดำเนินรายการเลือกเปิดประตูที่มีแพะบานไหนก็ได้
  • ผู้ดำเนินรายการให้โอกาสผู้เล่นตัดสินใจจะเลือกประตูเดิม หรือเลือกประตูใหม่

คำถาม คือ ผู้เล่นเลือกแบบไหนจึงมีโอกาสเลือกได้ประตูที่มีรถยนต์
คำตอบ คือ เปลี่ยนครับ การเปลี่ยนประตูนี้จะทำให้โอกาสได้รถยนต์เพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่า

กำหนดให้หลังประตูมี รถยนต์, แพะ1 และแพะ2
ถ้าตอนแรกเราเลือกแพะ1 ผู้ดำเนินรายการจะเปิดประตูแพะ2 เราจะได้รถยนต์เมื่อสลับประตู
ถ้าตอนแรกเราเลือกแพะ2 ผู้ดำเนินรายการจะเปิดประตูแพะ1 เราจะได้รถยนต์เมื่อสลับประตู
ถ้าตอนแรกเราเลือกรถยนต์ ผู้ดำเนินรายการจะเปิดประตูใดประตูหนึ่ง เราจะได้รถยนต์เมื่อไม่สลับประตู
จะเห็นว่า หากเราสลับประตูจะมีโอกาสได้รถยนต์เป็น  \displaystyle{ \frac{2}{3}}  ซึ่งเพิ่มขึ้นจากตอนแรกที่เรามีโอกาสเพียง  \displaystyle{ \frac{1}{3}}  เท่านั้น

อาจอธิบายอีกวิธีให้เข้าใจง่ายขึ้น สมมติเราตั้งใจที่จะเปลี่ยนประตูแน่นอน ดังนั้นวิธีที่จะได้รถยนต์ก็คือเราต้องเลือกให้ได้แพะในครั้งแรกเพื่อผู้ดำเนินรายการจะได้เปิดประตูที่มีแพะอีกบาน ซึ่งการเลือกประตูที่มีแพะในครั้งแรกนั้น เรามีโอกาสถึง  \displaystyle{ \frac{2}{3}}  ดังนั้น ถ้าเราเปลี่ยนประตู เราย่อมมีโอกาส  \displaystyle{ \frac{2}{3}}  เช่นกันในการได้รถยนต์

montyanddoors

ทฤษฎีบทของเบย์ และปัญหาที่ใหญ่ขึ้น

หากปัญหานี้ใหญ่ขึ้นเปลี่ยนจาก 3 ประตู เป็น 5 ประตู และเพิ่มแพะเป็น 4 ตัวละ มันคุ้มค่าที่จะสลับประตูใหม่หรือเปล่า หรือเราควรเลือกประตูเดิมนั้นแหละ เราไม่สามารถใช้วิธีข้างต้นได้ เพราะถ้าเราเลือกประตูที่มีแพะไปเพื่อหวังจะสลับประตูหลังผู้ดำเนินรายการเปิดประตูที่มีแพะบานอื่นไปบาน เราไม่สามารถมั่นใจได้ว่าประตูใหม่ที่เลือกเป็นประตูที่มีรถยนต์ เราจึงนำเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า “ความน่าจะเป็น” มาเป็นตัวช่วยในการแก้ปัญหานี้

นักคณิตศาสตร์ได้มองปัญหานี้แบบความน่าจะเป็นที่มีเงื่อนไข จึงได้ยกทฤษฎีบทของเบย์มาใช้ในการแก้ปัญหานี้

untitled

อ่านแล้วทำหน้างงงวยกันละซิ ฮ่า ฮ่า ผมจะอธิบายให้ฟังกันว่ามันเกี่ยวข้องกับเกมโชว์นี้อย่างไร ขอตั้งชื่อให้แต่ละเหตุการณ์ก่อนละกัน เพื่อความสะดวกในการอ่านและเขียน

กำหนดให้
\text{Car}_1 แทนเหตุการณ์รถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 1
\text{Car}_2 แทนเหตุการณ์รถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 2
\text{Car}_3 แทนเหตุการณ์รถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 3
\text{Open}_1 แทนเหตุการณ์ผู้ดำเนินรายการเปิดประตูหมายเลข 1
\text{Open}_2 แทนเหตุการณ์ผู้ดำเนินรายการเปิดประตูหมายเลข 2
\text{Open}_3 แทนเหตุการณ์ผู้ดำเนินรายการเปิดประตูหมายเลข 3
และ \text{P(}เหตุการณ์\text{)} แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้น ๆ

แน่นอนว่าความน่าจะเป็นที่รถยนต์จะซ่อนหลังประตูใดประตูหนึ่งต้องเป็น 1 ใน 3 นั่นคือ  P(C_1) = P(C_2) = P(C_3) = \displaystyle{\frac{1}{3}} สมมติว่าผมเป็นถูกรับเชิญไปในรายการนี้ และเขาซ่อนรถยนต์ด้านหลังประตูหมายเลข 2 ซึ่งผมไม่รู้ว่ามันอยุ่หลังประตูนั้น และผมเลือกประตูหมายเลข 3 ไปในรอบแรก และแน่นอนผู้ดำเนินรายการต้องเปิดประตูหมายเลข 1
คราวนี้เราลองนำทฤษฎีบทของเบย์มาแก้ปัญหากัน เบย์บอกไว้ว่า

มาดูกันว่าความน่าจะเป็นที่รถยนต์จะอยู่ประตูหมายเลข 2 มีมากแค่ไหนในสถานการณ์ที่ผมเลือกประตูหมาย 3 และผู้ดำเนินรายการเลือกเปิดประตูหมายเลข 1 นี้ นั่นคือ จะให้เหตุการณ์ที่รถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 2 เป็นเหตุการณ์ที่เราสนใจ(Event) และเหตุการณ์ผู้ดำเนินรายการเปิดประตูหมายเลข 1  เป็นเหตุการณ์เงื่อนไข (Condition) จะได้

พอแจกแจงตามทฤษฎีของเบย์แล้ว ตัวแปรออกมาเพียบเลยแหะ อย่าเพิ่งตกใจกันละ ฮ่า ฮ่า
เรามาไล่กันทีละตัว จะเห็นว่า \text{P(Open}_1\mid\text{Car}_2\text{)} ที่ตัวเศษมีเหมือนกันที่ตัวส่วน ฉะนั้น จะไล่ลำดับตามตัวส่วนละกัน (ทุกกรณีเรายังคงเลือกประตูหมายเลข 3)

ตามเงื่อนไขของเกมแล้ว ไม่มีทางที่ผู้ดำเนินรายการจะเปิดประตูหมายเลข 1 ในขณะที่รถยนต์ซ่อนหลังประตูหมายเลข 1 จะได้ว่า \text{P(Open}_1\mid\text{Car}_1\text{)} = 0

ผู้ดำเนินรายการจะมีทางเลือกเดียว คือ เปิดประตูหมายเลข 1 เท่านั้น ในขณะที่รถยนต์ซ่อนหลังประตูหมายเลข 2  จึงได้ว่า  \text{P(Open}_1\mid\text{Car}_2\text{)} = 1

และผู้ดำเนินรายการจะเปิดประตูหมายเลข 1 หรือ 2 ก็ได้ ในขณะที่รถยนต์ซ่อนหลังประตูหมายเลข 3  ทำให้ได้ว่า \text{P(Open}_1\mid\text{Car}_3\text{)} = \displaystyle{\frac{1}{2}}

ดังนั้น    

เห็นมั้ยครับ โอกาสเพิ่มจากเดิมถึง 2 เท่าแหนะ คราวนี้ถ้าเพิ่มประตูเป็น 5 บาน แพะเป็น 4 ตัว คุณผู้อ่านก็สามารถเลือกได้แล้วว่าควรจะสลับประตู หรือเลือกประตูเดิมมีโอกาสชนะเกมนี้ เพื่อให้โอกาสชนะเกมนี้เพิ่มขึ้น นอกจากเกมนี้ยังมีเกมอื่นที่สามารถใช้ทฤษฎีบทของเบย์ได้ ขอเพียงเกมนั้นต้องหา “ความน่าจะเป็นที่มีเงื่อนไข”

อ้างอิง :

เขียนโดย

Jetzada Chuaychuwong

นิสิตภาควิชาคณิตศาสตร์ ผู้หลงใหลในความเรียบง่ายที่แฝงไปด้วยความซับซ้อน