1, 2, 4, … แล้วอะไรต่อ ?

1, 2, 4, … แล้วอะไรต่อ ?

1, 2, 4, … แล้วอะไรต่อ ? จากเกมทดสอบไอคิว สู่ Numerical Analysis เกมที่ดูเหมือนจะง่าย แต่พาเราไปได้ไกลกว่าที่คิด

เกมทดสอบไอคิว

เคยเล่นเกมทดสอบไอคิวกันไหมครับ มันจะมีแบบหนึ่งที่เค้าเรียกกันว่าลำดับตัวเลข ผมว่าทุกคนน่าจะเคยเห็นมาบ้างแหละนะ
โจทย์ก็ไม่ได้ซับซ้อนอะไรครับ โจทย์เค้าจะมีชุดตัวเลขมาให้ แล้วถามว่าตัวต่อไปคืออะไร อย่างเช่น

2, 4, 6, 8, … แล้วอะไรต่อครับ

แทบไม่ต้องคิดเลยเนอะ ก็น่าจะเป็น 10 ใช่มั้ยครับ เพราะแต่ละตัวมันก็คือการบวกขึ้นมาทีละสองถูกไหมครับ หรือสำหรับบางคนที่มีหัวทางคณิตหน่อยก็อาจจะบอกได้เลยว่าสูตรของมันคือ 2n หมายความว่า ตัวที่ n ในลำดับนี้ จะมีค่าเท่ากับ 2n นั่นเอง

เอาใหม่ครับเอาใหม่ ลองยากขึ้นอีกหน่อย

3, 6, 12, 24, … แล้วอะไรต่อครับ

คราวนี้อาจจะต้องคิดนานนิดนึง มองดูให้ลึกครับ แต่ละตัวมันเกี่ยวกันยังไงนะ หากระดาษมาทดก็ได้ มองไปมองมา เห็นความสัมพันธ์บ้างไหมครับ ถ้ามองให้ดี ก็จะเห็นว่า อ๋อ เลขแต่ละตัว มันเกิดจากการเอาตัวก่อนหน้ามาคูณสองนี่เอง ตัวแรกคือ 3 ตัวต่อมาก็คือ 3×2 ต่อมาก็ 3x2x2 ไปแบบนี้เรื่อย ๆ เหมือนเดิมครับ ใครที่มีหัวทางคณิตศาสตร์นิดหน่อยก็น่าจะสรุปได้เลยว่าสูตรของลำดับนี้ก็คือ 3x(2n-1) แต่ถ้าใครงงว่าสูตรนี้มายังไง ก็ไม่เป็นไร เอาเป็นว่าลองแทน n เป็น 1, 2, 3, 4 ดู ถ้ามันออกมาได้ 3, 6, 12, 24 ก็โอเคครับ แปลว่าสูตรนี้ใช้ได้

อ่อ เกือบลืมตอบคำถามไปเลย ถ้าสูตรเป็นตามนี้ ตัวที่ถัดไปจาก 24 ก็ควรจะเป็น 48 นะครับ

คราวนี้ลองยากกว่าเดิมอีกหน่อยครับ เอาเป็น

0, 3, 8, 15, … แล้วกัน

หูยยยย อันนี้ดูยากไปเลยนะฮะ เล็งไปเล็งมา ถ้าเป็นผู้เล่นระดับ beginner อาจจะต้องใช้เวลาสักพัก แต่ถ้าเทพ ๆ หน่อย เล็งดี ๆ ก็เห็นว่า ถ้าเอาทุกตัวไป +1 ลำดับนี้จะกลายเป็น  1, 4, 9, 16, … ใช่มั้ยฮะ เริ่มเห็นอะไรบ้างรึยัง

เฉลยแล้วกันนะครับ เลขพวกนี้มันก็คือจำนวนเต็มมายกกำลังสองนี่เอง ดังนั้น สูตรของลำดับ 0, 3, 8, 15, …  ก็คือ n2-1 นั่นเองครับ

ตอบว่าอะไรก็ได้

มันมีช่วงหนึ่งที่เกมแบบนี้ฮิตกันมากในโรงเรียนผมครับ แล้วผมซึ่งเรียนเลขเก่งก็จะถูกคาดหวังว่าผมจะต้องสามารถตอบได้อย่างรวดเร็วแน่ ๆ เลย ซึ่งเป็นความคิดที่ผิดครับ ผมทำผลงานได้ห่วยแตกมาก ดูไม่เห็นจะออกเลยครับว่าเลขแต่ละตัวมันเกี่ยวกันยังไง

แต่ไม่ได้สิครับ ผมจะยอมให้ใครรู้ไม่ได้ว่า คนเก่งเลขอย่างผมเล่นเกมนี้ไม่ได้ ผมเลยพยายามอธิบายทุกคนว่า จริง ๆ แล้วเกมนี้มันไร้สาระมากเลยนะ เกมนี้มันตอบได้ตั้งหลายอย่าง เช่นสมมุติว่ามีลำดับ

1, 2, 4, …

ถ้าคนนึงมองว่ามันคือการคูณเพิ่มทีละสอง ตัวต่อไปก็น่าจะเป็น 8 แต่ถ้าอีกคนมองว่าจาก 1 ไป 2 มันเพิ่มขึ้นมา 1 และจาก 2 ไป 4 มันเพิ่มขึ้นทีละ 2 ดังนั้นต่อไปมันก็น่าจะเพิ่มขึ้น 3 สิ ก็จะได้ว่าตัวต่อไปคือ 7

เห็นมั้ยละ นี่เป็นตัวอย่างว่าเราสามารถหาความสัมพันธ์ ที่พอคิดแล้วสามตัวแรกออกมาพบว่าได้เท่ากันหมด แต่พอถึงตัวที่สี่แล้วค่าไม่เท่ากันได้ ดังนั้นเกมนี้ก็ไม่ได้มีคำตอบที่ถูกต้องแค่แบบเดียวซะหน่อย จริง ๆ แล้วตัวที่สี่จะเป็นอะไรก็ได้ด้วยซ้ำ เดี๋ยวมันจะต้องมีความสัมพันธ์แปลก ๆ อะไรสักอย่างที่เรานึกไม่ถึงมารองรับเองนั่นแหละ

คิดว่าผลเป็นยังไงครับ คิดว่าเพื่อนจะซาบซึ้งกับตัวอย่างที่ผมยกให้ฟังหรอครับ เปล่าเลยครับ ทุกคนเบะปากเป็นรูปสระอิใส่ผม ทำหน้าประมาณว่า พูดอะไรของมันวะ แล้วก็หันไปเล่นกันต่ออย่างสนุกสนาน

ตอนนั้นผมทำอะไรไม่ได้ครับ เพราะนอกจากตัวอย่างที่ผมเพิ่งบอกไป ผมก็นึกอย่างอื่นไม่ออกแล้ว แต่ผมยังเชื่ออยู่ลึก ๆ นะครับว่าผมพูดไม่ผิด ผมจึงได้แต่เก็บเรื่องนี้ไว้ในใจครับ จนกระทั่งตอนนี้ครับ ผมไม่อ่อนแอเหมือนตอนนั้นแล้วครับ วันนี้ผมจะขอกลับมาถล่มเกมนี้อีกครั้ง เอาให้ราบคาบไปเลย

ไหนลองนึกเลขที่ชอบมาสักตัวซิ

ขั้นแรกครับ ลืมทุกอย่างเกี่ยวกับลำดับตัวเลขไปก่อน แล้วนึกเลขที่ชอบขึ้นมาหนึ่งเลขครับ เลขอะไรก็ได้ที่คุณชอบ โอเค สมมุติไปเล่น ๆ ก่อนว่าคือ 20 แล้วกันครับ

ทีนี้ อยากให้ดูสูตรนี้ครับ \frac{13n^3}{6}-\frac{25n^2}{2}+\frac{70n}{3}-12

อย่าเพิ่งถามนะครับว่าสูตรมายังไง เอาเป็นว่าผมเสกมาจากฟากฟ้าก็แล้วกัน

ทีนี้หยิบเครื่องคิดเลขขึ้นมาครับ แล้วลองแทนค่า n=1 ลงไปครับ … โอเคครับ ออกมาเป็น 1

คราวนี้ลองแทนค่า n=2 ลงไปบ้างครับ … อ่า ออกมาเป็น 2 แฮะ เริ่มคุ้น ๆ ไหมฮะ

ลองแทน n=3 บ้าง … ปรากฏว่าได้ 4 ครับ แหม่ 1, 2, 4, … ทำไมมันคุ้น ๆ อย่างนี้ละเนี่ย

มาถึงจุดสำคัญครับ ลองแทน n=4 เข้าไปดูครับ อย่าบอกนะว่า … ใช่ครับ ได้ 20

.

.

ทีนี้หมายความว่ายังไงล่ะครับ ก็หมายความว่า จริง ๆ แล้วลำดับ 1, 2, 4, … เนี่ย ถ้าผมก็มีสิทธิ์จะตอบว่าตัวต่อไปคือ 20 ก็ได้ครับ นี่ไง ผมหามาจากสูตรนี้ ก็ผมคิดว่าเลขพวกนี้มันสัมพันธ์กันตามสูตรนี้นี่นา

มาถึงตรงนี้ ผู้อ่านคงกำลังสงสัยว่า ผมโกงรึเปล่า ในเลข 20 เนี่ยมันมีอะไรซ่อนอยู่รึเปล่า โอเคครับ ลองเปลี่ยนก็ได้ คราวนี้เอาให้มันแปลก ๆ ไปเลย สมมุติว่าผมเปลี่ยนมาชอบเลข -3 แทน

ปิ๊ง  -\frac{5n^3}{3}+\frac{21n^2}{2}-\frac{113n}{6}+11 ผมเสกสูตรมาจากฟ้าอีกแล้วครับ ใครมีเครื่องคิดเลขหยิบขึ้นมาให้ไวเลยครับ แล้วกดดู แทนค่า n=1,2,3,4 เข้าไปสิครับ ใช่ครับ มันออกมาได้ 1, 2, 4, -3 พอดีเด้ะเลย …. เจ๋งดีนะครับ

แล้วมันจะเจ๋งกว่านี้อีกครับไหม ถ้าผมจะบอกว่า ไม่ว่าเราจะเลือกตัวเลขตัวที่สี่ในลำดับนี้ ให้เป็นอะไร ผมก็จะสามารถเสกสูตร ที่แทนค่าสามตัวแรกออกมาได้เป็น 1, 2, 4 แล้วพอแทนค่า n=4 ลงไป มันก็จะออกมาเป็นเลขที่เราเลือกไว้เลยครับ

สูตร DIY ทำเองได้ที่บ้าน

จริง ๆ สูตรพวกนี้ที่ผมอ้างว่าผมเสกมาได้เนี่ย ผมไม่ได้เป็นคนเสกขึ้นมาเองหรอกครับ นักคณิตศาสตร์ชื่อคุณ Lagrange (ในภาษาไทยบางคนอ่านว่าลากรองจ์ บางคนอ่านว่าลากรานจ์) เค้าเป็นคนเสกมาให้ครับ แล้วสูตรนี้ก็หาไม่ยากเลยครับ มีความ DIY สูงมาก ใคร ๆ ที่พอรู้คณิตศาสตร์พื้น ๆ (แค่บวกลบคูณหารพหุนามเป็น) ก็สามารถเอาไปทำเล่นหลอกเด็กที่บ้านได้ครับ

คลิกเพื่ออ่าน

 

ไปให้ไกลกว่านั้น

กลายเป็นว่า ตัวที่สี่ของลำดับนี้สามารถเป็นอะไรก็ได้ครับ ตามใจเราเลย ทีนี้เวลามีเพื่อนมาถามว่า 1, 2, 4, … แล้วอะไรต่อ ก็ตอบส่ง ๆ ไปเลยครับ ชอบเลขอะไรก็ตอบ ๆ ไปเหอะ ตอบว่า \sqrt{2} ยังได้ ทีนี้ถ้าเพื่อนบอกผิด หาว่าเราตอบมั่วซั่ว ก็แอบขอไปห้องน้ำแปปนึงครับ ทดสูตรแบบที่ผมสอนตะกี้อ่ะ แต่อย่าลืมเปลี่ยน 20 เป็น \sqrt{2} นะ ทดๆๆๆ คิดเลขให้เสร็จ ก็กลับออกมา แล้วปาสูตรที่คิดได้ใส่หน้ามันไปเลยครับ ว่านี่ไง ไม่ได้มั่วโว้ย เราแค่คิดมาจากสูตรนี้ซึ่งซับซ้อนไปหน่อยก็เท่านั้นเอง

สูตรที่สร้างขึ้นมาด้วยวิธีนี้เรียกว่า พหุนามลากรองจ์ (Lagrange Polynomial) ครับ ก็เป็นการตั้งชื่อให้เกียรติคุณ Lagrange เค้านี่แหละครับ ซึ่งนอกจาก Lagrange Polynomial จะมีประโยชน์ในการช่วยผมถล่มพวกชอบเล่นเกมลำดับตัวเลข จริง ๆ แล้วมันยังถูกเอาไปใช้ทำอะไรที่ดูดีมีสาระกว่านี้อีกเยอะแยะเลยครับ

แนวคิดทำนองนี้สามารถขยายออกมาสำหรับปัญหาเวลาที่เรามีข้อมูลที่เป็นคู่อยู่สักชุดหนึ่งครับ เช่นถ้าเราคาดว่าจำนวนสินค้าที่ขายได้ในแต่ละวัน น่าจะขึ้นอยู่กับราคาขาย แต่เราไม่รู้ว่าสองค่านี้มันสัมพันธ์กันยังไง เราก็ทำการทดลอง โดยลองตั้งราคาไว้ 3 ค่าครับ แล้วเก็บข้อมูลว่าแต่ละราคาขายได้เท่าไรบ้าง สมมุติว่าได้ข้อมูลคือ

ราคาขาย (x) 20 30 40
ปริมาณที่ขายได้ (P) 102 56 50

ทีนี้ถ้าเราอยากรู้ว่าถ้าตั้งราคาไว้ที่ 35 จะขายได้ประมาณเท่าไร ถ้าคิดแบบพื้น ๆ เราก็อาจจะมองว่า 25 มันอยู่ระหว่าง 30 กับ 40 มันก็น่าจะขายได้เท่ากับค่าเฉลี่ยระหว่าง 56 กับ 50 ซึ่งก็คือ 53 ละมั้ง ซึ่งคิดแบบนี้มันดูชุ่ยไปหน่อยนะครับ เพราะถ้าสังเกตให้ดีจะเห็นว่าการขึ้นราคาจาก 20 ไป 30 ทำให้ยอดขายตกลงพรวดเลย แต่การขึ้นราคาจาก 30 ไป 40 ถึงมันจะขึ้นไป 10 เท่ากัน แต่คราวนี้ยอดขายตกลงไปแค่คิดเดียวเอง การเฉลี่ยตรง ๆ ดูจะเป็นวิธีการประมาณค่าที่หยาบไปหน่อย

แต่ถ้าเราลองสร้าง Lagrange Polynomial ขึ้นมาจากข้อมูลสามตัวนี้ครับ ซึ่งได้ออกมาเป็น P=\frac{x^2}{5}-\frac{73x}{5}+314 (สังเกตว่าสูตรนี้ถ้าแทน x=20,30,40 เข้าไปจะได้ 102,56,50 ตามลำดับจริง ๆ นะครับ)

เมื่อเราได้สูตรแล้ว ก็ลองแทน 35 เข้าไปดูครับ ปรากฏว่าได้ 48 ครับ

ซึ่งผิดไปจากที่เราคิดเลยครับ เพราะถ้าลองสูตร P ไปวาดกราฟดู จะได้ว่ากราฟมันตกลงแล้ววกขึ้นไปใหม่ตรงช่วงแถว ๆ 35 พอดีครับ นอกจากนี้แล้ว พอเราได้สูตรสำหรับ P ขึ้นมา เราก็สบายแล้วครับ จะดิฟหรืออินทิเกรต หาค่าสูงสุดต่ำสุดอะไรก็ได้ทั้งนั้น ไม่เหมือนตอนแรกสุดที่เรามีแค่ข้อมูลสามจุดเท่านั้นเอง

แต่สิ่งหนึ่งที่ต้องนึกอยู่เสมอก็คือ ยังไงซะ สูตร P ที่เราได้มานั้นถูกสร้างขึ้นมาจากแค่ข้อมูลเพียงแค่สามตัวเท่านั้น ดังนั้นไม่ว่าจะเอา P ไปทำต่อผลที่ได้ออกมานั้นล้วนเป็นค่าประมาณทั้งสิ้น ถ้าอยากให้แม่นยำมากขึ้น ก็ต้องเพิ่มข้อมูลเข้าไปครับ ยิ่งข้อมูลเยอะ การประมาณก็จะยิ่งแม่นยำขึ้นตามไปด้วย

เรื่องของการประมาณค่าพวกนี้เนี่ยเค้ามีคนศึกษากันเป็นเรื่องเป็นราวเลยครับ เป็นแขนงหนึ่งในคณิตศาสตร์ที่เรียกกันว่าวิชาการวิเคราะห์เชิงตัวเลข (Numerical Analysis) วิชาแนวนี้วัน ๆ นึงไม่ทำอะไรกันหรอกครับ ประมาณอย่างเดียว หาวิธีใหม่ ๆ มาประมาณนั่นโน่นนี่กันใหญ่เลย แล้วก็ศึกษาข้อดีและข้อเสียของแต่ละวิธี วิธีไหนดีกว่าวิธีไหน วิธีไหนแม่นยำกว่ากัน ทำนองนี้ครับ

วิชานี้มีความสำคัญมากในทางวิทยาศาสตร์และอีกหลาย ๆ สาขานะครับ เพราะในโลกของความจริง เราต่างก็รู้ดีกว่าไม่มีใครไม่สามารถทำการทดลองเพื่อเก็บค่าได้สำหรับทุก ๆ กรณีหรอก มีขีดจำกัดมากมายที่ทำให้เราวัดค่าที่แท้จริงของทุก สถานการณ์ไม่ได้

อย่างเช่นในการทำปฏิกิริยาเคมีบางอย่าง เรารู้ว่ามันจะเกิดได้ดีที่อุณหภูมิค่าหนึ่งซึ่งสูงมาก ๆ สูงเสียจนไม่มีเทอร์โมมิเตอร์อันไหนทนไหว แล้วจะรู้ได้ยังไงล่ะครับว่ามันร้อนจนถึงอุณหภูมิที่ต้องกันแล้ว เค้าก็แก้ปัญหาโดยใช้วิธีวัดแถว ๆ ขอบของมันซึ่งไม่ร้อนมากเอาครับ แล้วก็ใช้วิธีทาง Numerical Analysis นี่แหละ ในการประมาณค่าอุณหภูมิตรงจุดที่เราเข้าไปวัดไม่ได้

เพราะสำหรับคณิตศาสตร์ ร้อนแค่ไหนก็ไม่กลัวครับ

เขียนโดย

Pat Vatiwutipong

นักคณิตศาสตร์ฝึกหัด ชอบพูด ชอบเขียน ชอบกินบุฟเฟ่ต์
Tags: , , ,